pcg

解决一个平方线性系统使用pcg默认设置,然后调整解决方案中使用的宽容和迭代次数的过程。

创建一个随机的对称稀疏矩阵一个。还创建一个向量b行总结的一个的右边 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$所以,真正的解决方案 $\mathit{x}$是一个向量的。

rng默认的5 = sprand (400400);=“*;b =和(2);

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$使用pcg。输出显示包括相对残留误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\; -\; -\; -\; -\; -\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$。

x = pcg (A, b);

pcg停在迭代20不收敛所需的公差1 e-06因为迭代的最大数量。返回的迭代(20)数量相对剩余3.6 e-06。

默认情况下pcg使用20个迭代和宽容的1 e-6,该算法无法在这20个迭代收敛这个矩阵。然而,剩余接近公差,所以只需要更多的迭代算法容易收敛。

解决系统再次使用的宽容1 e -和150的迭代。

x = pcg (A, b, 1 e - 7150);

pcg聚集在迭代相对剩余1 e-07 129到一个解决方案。

检查使用预处理矩阵的影响pcg解决一个线性系统。

创建一个对称正定,联合系数矩阵。

一个= delsq (numgrid (“年代”,102));

定义b右边的线性方程 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$。

b = 1(大小(A, 1), 1);

宽容和最大迭代数。

托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;

使用pcg找到一个解决方案在请求的宽容和迭代次数。指定返回5个输出的信息解决方案过程:

[x, fl0 rr0, it0 rv0] = pcg (A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 0.0131

it0

it0 = 100

fl0是1因为pcg不收敛到所请求的公差1 e-8在请求的100次迭代。

援助与收敛速度慢,您可以指定一个预处理矩阵。自一个是对称的,使用ichol生成预调节器 $\mathit{米}=\mathit{l}{\mathit{l}}^{\mathit{T}}$。解决通过指定的预处理系统l和L '作为输入,pcg。

L = ichol(一个);(x1, fl1 rr1、it1 rv1] = pcg (A, b,托尔,麦克斯特,L, L ');fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 8.0992 e-09

it1

it1 = 79

的使用ichol预调节器产生一个相对剩余不到规定的公差1 e-8在第79届迭代。输出rv1 (1)是规范(b)和rv1(结束)是规范(b * x1)。

现在,使用michol选择创建一个修改的不完整的柯列斯基预调节器。

L = ichol(结构体(“michol”,“上”));(x2, fl2 rr2、it2 rv2] = pcg (A, b,托尔,麦克斯特,L, L ');fl2

fl2 = 0

rr2

rr2 = 9.9614 e-09

it2

it2 = 47

这个预调节器比产生的一个不完整的柯列斯基分解的填零系数矩阵在这个例子中,pcg能够收敛更快。

你可以看到预调节器收敛速度的影响pcg通过绘制每个剩余历史从初始估计(迭代数0)。添加一行指定的公差。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“o”)semilogy(0:长度(rv2) 1, rv2 /规范(b),“o”)yline(托尔,“r——”);传奇(“没有预调节器”,“默认ICHOL”,“修改ICHOL”,“宽容”,“位置”,“东”)包含(的迭代次数)ylabel (的相对剩余的)

检查供应的影响pcg解决方案的初始猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。使用每一行的总和作为向量的右边 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$因此,预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个向量的。

n = 900;e =的(n - 1);一个= spdiags ([e 2 * e e], 1:1, n, n);b =和(2);

使用pcg来解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$两次:一次使用默认初始猜测,和一个解决方案的时间和一个很好的初始估计。使用200次迭代和默认的对这两个解决方案。金宝搏官方网站指定初始猜测第二个解决方案作为一个向量的所有元素等于0.99。

麦克斯特= 200;x1 = pcg (A, b,[],麦克斯特);

pcg聚集在迭代35与相对剩余9.5 e-07解决方案。

x0 = 0.99 * e;x2 = pcg (A, b,[],麦克斯特[],[],x0);

pcg聚集在迭代7与相对剩余8.7 e-07解决方案。

在这种情况下提供一个初始猜测使pcg更快地收敛。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = pcg (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

解一个线性系统通过提供pcg计算一个函数处理* x的系数矩阵一个。

使用画廊生成一个20-by-20正定三对角矩阵。超级和副斜杆的,而主对角线元素计数低于20比1。预览矩阵。

n = 20;一个=画廊(“tridiag”的(n - 1, 1), n: 1:1,的(n - 1, - 1));完整的(一个)

ans =20×2020 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 19 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 18 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 16 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 14 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 13 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

因为这三对角矩阵有一个特殊的结构,你可以代表操作* x一个函数处理。当一个乘以一个向量,大部分结果向量中的元素是0。结果中的非零元素对应的非零三对角元素一个。此外,只有主对角线的非零不等于1。

表达式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$\left(\begin{array}{cccccccccc}20.& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 19& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 18& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 17& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 16& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 15& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 14& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 13& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_3\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}\right]=\left(\begin{array}{c}2{0\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+19{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3\\ {\mathit{x}}_2+18{\mathit{x}}_3+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{18}+2{\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\\ {\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\end{array}\right]$。

结果向量可以写成三个向量的总和:

$\left(\begin{array}{c}2{0\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+19{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3\\ {\mathit{x}}_2+18{\mathit{x}}_3+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{18}+2{\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\\ {\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\end{array}\right]$= $\left(\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}\end{array}\right]+\left(\begin{array}{c}20.{\mathit{x}}_1\\ 19{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}\right]+\left(\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\\ 0\end{array}\right]$。

在MATLAB®,编写一个函数,创建这些向量并将它们添加在一起,从而赋予的价值* x:

函数y = afun (x) y = 0;x (19)) +…[(20:1:1)]。* x +…[x(20分);0);结束

(这个函数保存为本地函数结束时的例子。)

现在,解决线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$通过提供pcg计算的函数处理* x。使用一个公差1 e-12和50迭代。

1 b =(20日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 50;x1 = pcg (@afun, b,托尔,麦克斯特)

pcg聚集在迭代20与相对剩余4.4 e-16解决方案。

x1 =20×10.0476 0.0475 0.0500 0.0526 0.0555 0.0588 0.0625 0.0666 0.0714 0.0769⋮

检查afun (x1)产生一个向量的。

afun (x1)

ans =20×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

函数y = afun (x) y = 0;x (19)) +…[(20:1:1)]。* x +…[x(20分);0);结束