VAR模型案例研究

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这个例子展示了如何分析一个VAR模型。

案例概述

本节包含了中描述的工作流的一个示例VAR模型的工作流。该示例使用三个时间序列：GDP，M1货币供应量，3个月国库券利率。例子所示：

  • 加载和转换为平稳数据

  • 将所述转换后的数据到样品前体，估计和预测的时间间隔，以支持一个返回检验实验金宝app

  • 让几个模型

  • 拟合模型数据

  • 决定哪个模型是最好的

  • 基于最佳模型进行预测

加载和转换数据

该文件Data_USEconModel附带计量经济学工具箱™软件。该文件包含来自圣路易斯的经济数据的联邦储备银行（FRED）在表阵数据库的时间序列。这个例子使用了三个时间序列：

  • 国内生产总值(国内生产总值）

  • M1货币供应量（M1SL）

  • 三个月国库券利率(TB3MS）

加载数据集。创建实际GDP的变量。

加载Data_USEconModelDataTable.RGDP = DataTable.GDP./DataTable.GDPDEF*100;

绘制数据以寻找趋势。

图次要情节(3、1、1)的阴谋(DataTable.Time DataTable.RGDP,'R');标题（实际国内生产总值的网格)在次要情节(3、1、2);情节(DataTable.Time DataTable.M1SL,“b”);标题（'M1'网格)在次要情节(3,1,3);图（DataTable.Time，DataTable.TB3MS，数k)标题(“3谟国库券”网格)在

实际GDP和M1数据似乎呈指数级增长，而短期国债收益率没有显示出指数级增长。为了对抗实际GDP和M1的趋势，对数据取不同的对数。同样，通过第一个差来稳定国债系列。同步日期系列，以便每个列的数据具有相同的行数。

rgdpg = price2ret（DataTable.RGDP）;m1slg = price2ret（DataTable.M1SL）;dtb3ms = DIFF（DataTable.TB3MS）;数据= array2timetable（[rgdpg m1slg dtb3ms]…'RowTimes'，DataTable.Time（2：结束），“VariableNames”,{“RGDP”'M1SL'“TB3MS”});图次要情节(3、1、1)的阴谋(Data.Time Data.RGDP,'R');标题（实际国内生产总值的网格)在次要情节(3、1、2);图（Data.Time，Data.M1SL，“b”);标题（'M1'网格)在次要情节(3,1,3);情节(Data.Time Data.TB3MS,数k），标题（“3谟国库券”网格)在

前两列的比例大约比第三列小100倍。将前两列乘以100，这样时间序列的比例就大致相同了。这种比例可以很容易地在同一块图上绘制所有级数。更重要的是，这种类型的扩展使优化在数值上更稳定(例如，最大化loglikelihood)。

数据{:1:2}{:1:2}= 100 *数据;图绘制(Data.Time Data.RGDP,'R');保持在图（Data.Time，Data.M1SL，“b”);datetick ('X'网格)在情节(Data.Time Data.TB3MS,数k);传说（实际国内生产总值的，'M1'，“3谟国库券”);保持离

选择并适合模型

您可以为数据选择许多不同的模型。这个例子使用了四个模型。

  • VAR（2）与对角自回归

  • 带有完全自回归的VAR(2)

  • 带有对角自回归的VAR(4)

  • 带有完全自回归的VAR(4)

从系列的开头删除所有缺失值。

IDX =所有（〜ISMISSING（数据），2）;数据=数据（IDX，:);

创建四个模型。

numseries = 3;dnan =诊断接头(nan (numseries, 1));seriesnames = {实际国内生产总值的，'M1'，“3谟国库券”};VAR2diag = varm ('AR'{dnaN之间dnaN之间}，'SeriesNames',seriesnames);VAR2full = varm (numseries 2);VAR2full。SeriesNames = SeriesNames;VAR4diag = varm ('AR'，{dnan dnan dnan dnan}，'SeriesNames',seriesnames);VAR4full = varm（numseries，4）;VAR4full.SeriesNames = seriesnames;

矩阵dnan是对角矩阵与为NaN沿其主对角线值。通常，缺失的值指定模型的参数的存在，并且指示该参数需要是适合的数据。MATLAB®持有的非对角线元素，0，在估计期间固定。相反，规范VAR2full和VAR4full有矩阵组成的为NaN值。因此,估计适合自回归矩阵的全矩阵。

要评估模型的质量，可以创建将响应数据划分为三个阶段的索引向量:预采样、估计和预测。将模型与估计数据进行拟合，利用预充足期提供滞后数据。将拟合模型的预测结果与预测数据进行比较。估计期在样本内，预测期在样本外(也称为样本外)回溯测试）。

对于两个VAR（4）模型中，样品前体期是前四行数据。因此，所有的车型都适合同一数据使用相同的样品前期限为VAR（2）模型。这是必要的模型拟合比较。对于这两种模式，在预测期内是行的最后10％数据。模型的估计周期从第5行到90%行。定义这些数据周期。

idxPre = 1：4;T =小区（0.9 *大小（数据，1））;idxEst = 5：T;idxF =（T + 1）：大小（数据，1）;FH = numel（idxF）;

现在，该模型和时间序列存在，你可以很容易地适应模型的数据。

[EstMdl1，EstSE1，logL1，E1] =估计（VAR2diag，数据{idxEst ,:}…“Y0”、数据{idxPre:});[EstMdl2, EstSE2 logL2, E2] =估计(VAR2full、数据{idx:}…“Y0”、数据{idxPre:});[EstMdl3，EstSE3，logL3，E3] =估计（VAR4diag，数据{idxEst ,:}…“Y0”、数据{idxPre:});[EstMdl4, EstSE4 logL4, E4] =估计(VAR4full、数据{idx:}…“Y0”、数据{idxPre:});

  • 该EstMdl模型对象是拟合的模型。

  • 该EstSE结构包含拟合模型的标准误差。

  • 该logL值是拟合模型的loglikelihood，您可以使用它来帮助选择最佳模型。

  • 该Ë载体是残差，其尺寸为估计数据相同。

检查型号充足

通过显示，可以检查估计的模型是否稳定且可逆描述每个对象的属性。（还有在这些模型中没有MA而言，这样的模式必然是可逆的。）的说明显示，所有评估模型是稳定的。

EstMdl1.Description
ANS = “AR-固定3维VAR（2）模型”
EstMdl2.Description
ANS = “AR-固定3维VAR（2）模型”
EstMdl3.Description
ans = "AR-Stationary三维VAR(4) Model"
EstMdl4.Description
ans = "AR-Stationary三维VAR(4) Model"

AR-固定出现在输出中，表示自回归过程是稳定的。

您可以使用受限(对角)AR模型与非受限(完全)AR模型进行比较lratiotest。测试拒绝或不能拒绝假设限制模型是足够的，有一个默认的5％的容差。这是一个样品中测试。

应用似然比检验。你必须从返回的汇总结构提取估计参数的数量总结。然后，将估计参数的数量和loglikeli之间的差异传递给lratiotest执行测试。

结果1 =总结（EstMdl1）;NP1 = results1.NumEstimatedParameters;结果2 =总结（EstMdl2）;NP2 = results2.NumEstimatedParameters;结果3 =总结（EstMdl3）;NP3 = results3.NumEstimatedParameters;results4 =总结（EstMdl4）;NP4 = results4.NumEstimatedParameters;reject1 = lratiotest（logL2，logL1，NP2  -  NP1）
reject1 =合乎逻辑1
reject3 = lratiotest(logL4,logL3,np4 - np3)
reject3 =合乎逻辑1
reject4 = lratiotest（logL4，logL2，NP4  -  NP2）
reject4 =合乎逻辑0

该1结果表明，似然比检验拒绝了两种限制模型，而选择了相应的非限制模型。因此，基于此检验，我们选择不受限制的VAR(2)和VAR(4)模型。但是，该测试并不排斥不受限制的VAR(2)模型，而是支持不受限制的VAR(4)模型。(本测试将VAR(2)模型视为VAR(4)模型，其限制条件为自回归矩阵AR(3)和AR(4)为0。)因此，不受限制的VAR(2)模型似乎是最好的模型。

为了在一个集合中找到最好的模型，最小化Akaike信息准则(AIC)。使用样本内数据计算AIC。计算四种模型的判据。

AIC = aicbic（[logL1 logL2 logL3 logL4]，[NP1 NP2 NP3 NP4]）
AIC =1×4103×1.4794 1.4396 1.4785 1.4537

根据这一标准，最好的模型是不受限制的VAR(2)模型。还要注意，不受限制的VAR(4)模型的Akaike信息比任何一个受限制的模型都要低。基于此准则，不受限制的VAR(2)模型最好，其次是不受限制的VAR(4)模型。

四个模型的预测与之比较的预测数据，使用预测。这个函数返回一个双方的平均时间序列预测和误差协方差矩阵，提供有关的手段置信区间。这是外的样品的计算。

[FY1, FYCov1] =预测(EstMdl1、跳频、数据{idx:});[FY2, FYCov2] =预测(EstMdl2、跳频、数据{idx:});[FY3, FYCov3] =预测(EstMdl3、跳频、数据{idx:});[FY4, FYCov4] =预测(EstMdl4、跳频、数据{idx:});

为最佳拟合模型估计大约95%的预测区间。

extractMSE = @ (x)诊断接头(x) ';MSE = cellfun (extractMSE FYCov2,“UniformOutput”，假）;SE = SQRT（cell2mat（MSE））;YFI =零（FH，EstMdl2.NumSeries，2）;YFI（：，：，1）= FY2  -  2 * SE;YFI（：，：，2）= FY2 + 2 * SE;

该图显示的阴影区域的最佳拟合模型向右的预测。

数字;对于j = 1: EstMdl2。NumSeries次要情节(3 1 j);h1 =情节(Data.Time ((end-49):结束),数据{(end-49):最终,j});保持在;h2 =情节(Data.Time (idxF) FY2 (:, j));h3 =情节(Data.Time (idxF) YFI (j,: 1),'K--');情节(Data.Time (idxF) YFI (: j 2),'K--');标题(EstMdl2.SeriesNames {j});甘氨胆酸h =;填充([Data.Time (idxF (1) h。XLim (2 [2]) Data.Time (idxF (1))),…h。YLim([1,1,2,2])，数k，“FaceAlpha”，0.1％，'EdgeColor'，'没有');图例（[H1 H2 H3]“真正的”，'预测'，“95%的预测区间”，…“位置”，“西北”)举行离;结束

现在可以直接计算预测和数据之间的平方和误差。

Error1 = Data{idxF，:} - FY1;Error2 = Data{idxF，:} - FY2;Error3 = Data{idxF，:} - FY3;Error4 = Data{idxF，:} - FY4;SSerror1 = Error1(:)' * Error1(:);SSerror2 = Error2(:)' * Error2(:);SSerror3 = Error3(:)' * Error3(:);SSerror4 = Error4(:)' * Error4(:);图条([SSerror1 SSerror2 SSerror3 SSerror4]，.5) ylabel(“误差平方的总和”）设置（GCA，“XTickLabel”，…{“AR2诊断”“AR2全”“第四次评估报告诊断”“AR4完整”}）标题（"预测误差平方和"）

四种模型的预测性能相似。

完整的AR（2）模型似乎是最好的，最吝啬的契合。它的模型参数如下。

总结(EstMdl2)
AR-Stationary 3-Dimensional VAR(2) Model Effective Sample Size: 176 Number of Estimated Parameters: 21 LogLikelihood: -698.801 AIC: 1439.6 BIC:1506.18价值StandardError TStatistic PValue __________ _________________ __________ __________常数(1)0.34832 0.11527 3.0217 0.0025132常数(2)0.55838 0.1488 3.7526 0.00017502常数(3)-0.45434 0.15245 -2.9803 0.0028793基于“增大化现实”技术的{1}(1,1)0.26252 0.07397 3.5491 0.00038661基于“增大化现实”技术的{1}(2,1)-0.029371 0.095485 -0.3076 0.75839基于“增大化现实”技术的{1}(3,1)0.22324 0.097824 2.2821 0.022484基于“增大化现实”技术的{1}(1、2)-0.074627 0.054476 -1.3699 0.17071基于“增大化现实”技术的{1}(2,2)0.2531 0.070321 3.5992 0.00031915基于“增大化现实”技术的{1}(3 2)-0.017245 0.072044 -0.239360.81082基于“增大化现实”技术的{1}(1、3)0.032692 0.056182 0.58189 0.56064基于“增大化现实”技术的{1}(2、3)-0.35827 0.072523 -4.94 7.8112 e-07 AR {1} (3,3) -0.29179 0.0743 -3.9272 8.5943 e-05 AR{2}(1,1) 0.21378 0.071283 2.9991 0.0027081基于“增大化现实”技术的{2}(2,1)-0.078493 0.092016 -0.85304 0.39364基于“增大化现实”技术的{2}(3,1)0.24919 0.094271 2.6433 0.0082093基于“增大化现实”技术的{2}(1、2)0.13137 0.051691 2.5415 0.011038基于“增大化现实”技术的{2}(2,2)0.38189 0.066726 5.7233 1.045 e-08 AR{2}(3 2) 0.049403 0.068361 0.72269 0.46987基于“增大化现实”技术的{2}(1、3)-0.22794 0.059203 -3.85 0.00011809基于“增大化现实”技术的{2}(2、3)-0.0052932 - 0.076423-0.069262 0.94478 AR{2}(3,3) -0.37109 0.078296 -4.7397 2.1408e-06创新协方差矩阵:0.5931 0.0611 0.1705 0.0611 0.9882 -0.1217 0.1705 -0.1217 1.0372创新相关矩阵:1.0000 0.0798 0.2174 0.0798 1.0000 - 0.2174 -0.1202 1.0000

预测的观察

您可以使用拟合的模型预测或预测（EstMdl2)通过:

  • 调用预测走过最后几排YF

  • 模拟与几个时间序列模拟

在这两种情况下，变换的天气预报所以他们直接等同于原来的时间序列。

生成拟合模型预测10使用最迟开始时间预测。

[YPred, YCov] =预测(EstMdl2 10数据{idxF:});

通过还原应用于原始数据的缩放和差分来转换预测。在使用之前，请确保在时间序列的开头插入最后一个观察值cumsum撤销差异。并且，由于取对数后会发生差分，所以在使用前先插入对数cumsum。

YFirst =数据表（IDX，{“RGDP”'M1SL'“TB3MS”});EndPt = YFirst {,,};EndPt（：，1：2）=日志（EndPt（：，1：2））;YPred（：，1：2）= YPred（：，1：2）/ 100;％重缩放比例YPred = [EndPt;YPred];％准备cumsumYPred (: 1:3) = cumsum (YPred (: 1:3));YPred (: 1:2) = exp (YPred (: 1:2));fdates = dateshift (YFirst.Time(结束),'结束'，“季”,0:10);％插入预测地平线数字对于J = 1：EstMdl2.NumSeries副区（3,1，j）的积（fdates，YPred（：，j）的'--b')举行在图（YFirst.Time，YFirst {：，J}，数k网格)在title(EstMdl2.SeriesNames{j}) h = gca;填充([fdates (1) h。XLim (2 [2]) fdates (1)), h。YLim([1,1,2,2])，数k，…“FaceAlpha”，0.1％，'EdgeColor'，'没有');保持离结束

图中显示的外推法为浅灰色预测层中的蓝色虚线，原始数据系列为纯黑色。

看这个情节在过去几年得到的预测如何与最新的数据点的感觉。

YLast = YFirst(170年:,);数字对于J = 1：EstMdl2.NumSeries副区（3,1，j）的积（fdates，YPred（：，j）的“b——”)举行在情节(YLast.Time YLast {: j},数k网格)在title(EstMdl2.SeriesNames{j}) h = gca;填充([fdates (1) h。XLim (2 [2]) fdates (1)), h。YLim([1,1,2,2])，数k，…“FaceAlpha”，0.1％，'EdgeColor'，'没有');保持离结束

预报显示增加实际GDP和M1，并且在利率略有下降。然而，预测没有错误吧。

或者，您可以使用以下工具从拟合的模型生成10个预测，从最晚的时间开始模拟。该方法模拟了2000的时间序列的时间，然后产生用于每个周期的平均值和标准偏差。的偏离为每个周期的装置是在该期间的预测。

模拟从拟合模型开始的最新时间序列。

RNG（1）;％用于重现YSim =模拟（EstMdl2,10，“Y0”，数据{idxF ,:}“NumPaths”,2000);

通过还原应用于原始数据的缩放和差分来转换预测。在使用之前，请确保在时间序列的开头插入最后一个观察值cumsum撤销差异。并且，由于取对数后会发生差分，所以在使用前先插入对数cumsum。

EndPt = YFirst {,,};日志(EndPt EndPt (1:2) = (1:2));YSim (1:2,::) = YSim (1:2,::) / 100;YSim = [repmat (EndPt [1, 2000]); YSim);YSim (1:3,::) = cumsum (YSim (: 1:3,:));YSim (1:2,::) = exp (YSim (:, 1:2,:));

计算每个系列的平均值和标准偏差，得出结果。该地块具有平均为黑色，与红色+/- 1个标准差。

YMean =意味着(YSim, 3);YSTD =性病(YSim 0 3);数字对于J = 1：EstMdl2.NumSeries副区（3,1，j）的积（fdates，YMean（：，j）的数k网格)在保持在情节（YLast.Time（端10：结束），YLast {端-10：端，J}，数k）情节（fdates，YMean（：，J）+ YSTD（：，j）的“——r”) plot(fdates,YMean(:，j) - YSTD(:，j)“——r”) title(EstMdl2.SeriesNames{j}) h = gca;填充([fdates (1) h。XLim (2 [2]) fdates (1)), h。YLim([1,1,2,2])，数k，…“FaceAlpha”，0.1％，'EdgeColor'，'没有');保持离结束

该图显示在GDP不断增长，中度到M1小的增长，不确定性的国库券利率的方向。

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