非线性约束的代理优化

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这个例子展示了如何在代理优化中包含非线性不等式约束。这个例子求解了一个带有非线性约束的ODE。这个例子并行优化ODE演示如何使用接受非线性约束的其他求解器来解决相同的问题。

有关此示例的视频概述，请参见代理优化．

问题描述

问题是改变火炮的位置和角度，让炮弹尽可能地飞出墙外。炮口初速为300米/秒。墙有20米高。如果加农炮离墙太近，就会以太陡的角度发射，射弹也不会飞得足够远。如果加农炮离墙太远，炮弹就飞得不够远。

非线性空气阻力使弹丸减速。阻力与速度的平方成正比，比例常数为0.02。重力作用于抛射体，使其向下加速，速度常数为9.81 m/s^2。因此，轨迹的运动方程x（t)

$\frac{d^{2} x （ t ）}{d t^{2}} ＝ - 0 ． 02 为 v （ t ）为 v （ t ） - （ 0 ， 9 ． 81 ），$

在哪里 $v （ t ）＝ d x （ t ） / d t$ ．

初始位置x0和初始速度xp0是二维向量。不过，初始高度x0 (2)是0，所以初始位置是由标量给出的x0 (1)．初始速度的大小为300(初速)，因此，只取决于初始角度，这是一个标量。对于初始角度th，初速度是xp0 = 300 * (cos (th), sin (th))．因此，优化问题只依赖于两个标量，使其成为一个二维问题。使用水平距离和初始角度作为决策变量。

制定ODE模型

ODE求解器要求您将模型表述为一阶系统。增加轨迹向量 $（ x_{1} （ t ）， x_{2} （ t ））$ 它的时间导数 $（ x_{1} ” （ t ）， x_{2} ” （ t ））$ 形成一个4-D轨迹向量。用增广向量表示，微分方程就变成

$\frac{d}{dt} x （ t ）＝［ \begin{array}{c} x_{3.} （ t ） \\ x_{4} （ t ） \\ - 0 ． 02 为（ x_{3.} （ t ）， x_{4} （ t ））为 x_{3.} （ t ） \\ - 0 ． 02 为（ x_{3.} （ t ）， x_{4} （ t ））为 x_{4} （ t ） - 9 ． 81 \end{array} ］．$

的cannonshot文件实现了这个微分方程。

类型cannonshot

函数f = cannonshot (~ x) f = [x (3), (4); x (3); x (4)];NRM = norm(x(3:4)) * .02;速度范数乘以常数f(3) = -x(3)*nrm;%水平加速度f(4) = -x(4)*nrm - 9.81;%的垂直加速度

设想这个ODE的解从离墙30米开始，初始角度为π/ 3．的plotcannonsolution函数使用数值解微分方程。

类型plotcannonsolution

函数dist = plotcannonsolution(x) %改变初始2- d点x为4-D x0 x0 = [x(1);0;300*cos(x(2));300*sin(x(2))];索尔=数值(@cannonshot [0, 15], x0);%求弹丸落地时间zerofnd = fzero(@(r)deval(sol,r,2)，[sol.x(2)，sol.x(end)]);t = linspace (0, zerofnd);对于plot xs = deval(sol,t,1);%插值x值ys = deval(sol,t,2);% interpolated y values plot(xs,ys) hold on plot([0,0]，[0,20]，'k') % Draw the wall xlabel('Horizontal distance') ylabel('Trajectory height') ylim([0 100]) legend('Trajectory'，' wall '，'Location'，'NW') dist = xs(end);title(sprintf('Distance %f'，dist)) hold off

plotcannonsolution使用fzero求弹丸落地的时间，也就是它的高度为0。炮弹在15秒前落地，所以plotcannonsolution使用15作为ODE解决方案的时间。

x0 =(-30;π/ 3);dist = plotcannonsolution (x0);

图中包含一个轴对象。标题为距离76.750599的轴对象包含2个类型为line的对象。这些物体代表轨迹，墙壁。

准备优化

为了优化初始位置和角度，编写一个类似于前面绘图例程的函数。计算从任意水平位置和初始角度开始的轨迹。

包括合理的约束。水平位置不能大于0。设上界为-1。同样，水平位置不能低于-200，所以设置下限-200。初始角度必须是正的，所以将其下限设为0.05。初始角度不应超过π/ 2;设它的上界为π/ 2 - 0.05。

磅= (-200;0.05);乌兰巴托=(1;π/ 2 . 05);

编写一个目标函数，在给定初始位置和角度的情况下，返回到墙的结果距离的负。如果弹道以低于20的高度穿过墙，则弹道不可行;这个约束是一个非线性约束。的cannonobjcon函数实现了目标函数的计算。为了实现非线性约束，函数调用fzero求抛射体的x值为零的时刻。该函数解释了在fzero函数通过检查，在时间15之后，弹丸的x值是否大于零。如果没有，则该函数跳过计算弹丸通过墙壁的时间这一步。

类型cannonobjcon

函数f = cannonobjcon(x) %改变初始2- d点x为4-D x0 x0 = [x(1);0;300*cos(x(2));300*sin(x(2))];%求解轨迹sol = ode45(@cannonshot，[0,15]，x0);%求轨迹高度= 0时的时间t zerofnd = fzero(@(r)deval(sol,r,2)，[1e-2,15]);dist = deval(sol,zerofnd,1);当x = 0时，炮弹穿过墙壁的高度是多少?If deval(sol,15) > 0 wallfnd = f0 (@(r)deval(sol, 15)，[0,15]); / /身高=德瓦尔(sol wallfnd 2);Else height = deval(sol,15,2);f.Ineq = 20 - height;f.Fval = -dist; end

你已经算出了一个可行的初始轨迹。使用该值作为初始点。

fx0 = cannonobjcon (x0);fx0。X = x0;

解决优化使用`surrogateopt`

集surrogateopt选择使用初始点。为了再现性，将随机数生成器设置为默认的．使用“surrogateoptplot”图的功能。运行优化。了解“surrogateoptplot”情节,看到解释surrogateoptplot．

选择= optimoptions (“surrogateopt”，“InitialPoints”x0,“PlotFcn”，“surrogateoptplot”）;rng默认的[xsolution、距离、exitflag、输出]= surrogateopt (@cannonobjcon、磅、乌兰巴托、选择)

图优化Plot函数包含一个轴对象。轴对象与标题Best: -125.999现任:-125.773当前:-125.773包含9个对象的类型行。这些对象代表最佳、在职、初始样本、随机样本(Infeas)、随机样本、自适应样本、自适应样本(Infeas)、在职(Infeas)、代理重置。

surrogateopt停止，因为它超过了'options.MaxFunctionEvaluations'设置的函数求值限制。

xsolution =1×2-28.3776 - 0.6165

距离= -125.9986

exitflag = 0

输出=结构体字段:Elapsedtime: 50.7602 funccount: 200 construct: 7.6395e-04 ineq: 7.6395e-04 rngstate: [1x1 struct] message: 'surrogateopt停止了，因为它超过了由…

画出最后的轨迹。

图dist = plotcannonsolution(xsolution);

图中包含一个轴对象。标题为Distance 125.998590的axis对象包含2个类型为line的对象。这些物体代表轨迹，墙壁。

的patternsearch解决方案并行优化ODE表示最后的距离125.9880，几乎和这个一样surrogateopt解决方案。

另请参阅

surrogateopt

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