単純な指数減衰曲線をデータに当てはめます。

ノイズを含む指数減衰モデルからデータを生成します。モデルは次のとおりです。

ここで, $$t$$の範囲は0 ~ 3, $$\epsilon$$は平均が0,標準偏差が0.05の正規分布ノイズです。

rng默认的%的再现性d = linspace (0, 3);Y = exp(-1.3*d) + 0.05*randn(size(d));

問題は,データ(d、y)について,データに最も適合する指数減衰率の検出です。

指数減衰率の値 $$r$$を使用して,その減衰率とデータをもつモデルとの差のベクトルを返す,無名関数を作成します。

有趣= @ (r) exp (- d * r) - y;

最適な減衰率の値を求めます。任意の初期推定x0= 4を選択します。

x0 = 4;x0, x = lsqnonlin(有趣)

局部最小值。Lsqnonlin停止的原因是相对于初始值的平方和的最终变化小于函数的容差值。

x = 1.2645

データおよび最適適合指数曲線をプロットします。

情节(d, y,“柯”d exp (- x * d),“b -”)传说(“数据”，“最适合”)包含(“t”) ylabel (“exp (tx)”）

適合パラメーターの一部が有界である場合の最適適合モデルを求めます。

次の関数のセンタリング $$b$$およびスケーリング $$\mathrm{一个}$$による最適な近似が,

次の標準正規密度に対して成り立つようにします。

データ点のベクトルt,およびこれらの点の対応する正規密度を作成します。

t = linspace (4, 4);y = 1 /√(2 *π)* exp (- t ^ 2/2);

センタリングおよびスケーリングした関数と,正規のyとの差を評価する関数を作成します。ここで,x (1)はスケーリング $$\mathrm{一个}$$、x (2)はセンタリング $$b$$です。

Fun = @(x)x(1)*exp(-t).*exp(- x(2)))) - y);

x0＝(1/2, 0)から開始して,最適近似を求めます。スケーリング $$\mathrm{一个}$$は1/2 ~ 3/2,センタリング $$b$$は1 ~ 3とします。

磅= [1/2,1];乌兰巴托= (3/2,3);x0 = (1/2, 0);x = lsqnonlin(有趣,x0,磅,乌兰巴托)

局部最小值。Lsqnonlin停止的原因是相对于初始值的平方和的最终变化小于函数的容差值。

x =1×20.8231 - -0.2444

2つの関数をプロットして,近似の質を確認します。

情节(t y的r -t有趣(x) + y,“b -”)包含(“t”)传说(“正常密度”，的拟合函数）

異なるlsqnonlinアルゴリズムを使用して,データ適合の問題の結果を比較します。

観測時間データxdataおよび観測応答データydataについて,次の形式のモデルが適合するパラメーター $$x（1）$$および $$x（2）$$を求めるものとします。

観測時間と応答を入力します。

xdata =．．．[0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 60.3 74.6 81.3];ydata =．．．[455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 -0.4 -1.3 -1.5];

単純な指数減衰モデルを作成します。このモデルは,予測値と観測値の差のベクトルを計算します。

有趣= @ (x) x (1) * exp (x (2) * xdata) -ydata;

開始点x0 =[1] 100年を使用してモデルを当てはめます。まず,既定の“trust-region-reflective”アルゴリズムを使用します。

x0 =[1] 100年;选择= optimoptions (@lsqnonlin,“算法”，“trust-region-reflective”）;x = lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项)

局部最小值。Lsqnonlin停止的原因是相对于初始值的平方和的最终变化小于函数的容差值。

x =1×2498.8309 - -0.1013

“levenberg-marquardtアルゴリズムを使用する場合と違いがあるかどうか確認します。

选项。算法=“levenberg-marquardt”；x = lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项)

局部最小值。Lsqnonlin停止的原因是当前步长的相对大小小于步长公差的值。

x =1×2498.8309 - -0.1013

2つのアルゴリズムで同じ解が得られています。解とデータをプロットします。

情节(xdata ydata,“柯”)举行在tlist = linspace (xdata (1) xdata(结束));情节(tlist x (1) * exp (x (2) * tlist),“b -”)包含xdataylabelydata标题(“指数拟合数据”)传说(“数据”，“指数符合”)举行从

次を最小にする $$x$$を求めます。

$$\underset{k＝1}{\overset{10}{\sum }}{（2+2k-e^{k{x}_1}-e^{k{x}_2}）}^2$$，

また,二乗和の最小値を求めます。

lsqnonlinは二乗和がユーザー関数で陽的に作成されて”いない”ことを想定しているため,lsqnonlinに渡す関数が以下のベクトル値関数を代わりに演算しなければなりません。

$$F_k（x）＝2+2k-e^{k{x}_1}-e^{k{x}_2}$$，

ここで, $$k＝1$$～ $$10$$です(すなわち, $$F$$は $$10$$個の要素をもたなければなりません)。

関数myfun（この例の終わりに掲載)が10要素のベクトルFを計算します。

点x0 = [0.3, 0.4]を開始点として,最小化点および最小値を求めます。

x0 = [0.3, 0.4];[x, resnorm] = lsqnonlin (x0 @myfun)

局部最小值。Lsqnonlin停止，因为当前步长小于步长公差的值。

x =1×20.2578 - 0.2578

resnorm = 124.3622

resnorm出力は2乗残差ノルム,すなわち関数値の二乗和です。

次の関数は,ベクトル値目的関数を計算します。

函数F = myfun(x) k = 1:10;F = 2 + 2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));结束

解法プロセスの発生時(显示オプションを“通路”に設定する),およびその後(输出構造体を調べる)の解法プロセスを検証します。

観測時間データxdataおよび観測応答データydataについて,次の形式のモデルが適合するパラメーター $$x（1）$$および $$x（2）$$を求めるものとします。

観測時間と応答を入力します。

xdata =．．．[0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 60.3 74.6 81.3];ydata =．．．[455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 -0.4 -1.3 -1.5];

単純な指数減衰モデルを作成します。このモデルは,予測値と観測値の差のベクトルを計算します。

有趣= @ (x) x (1) * exp (x (2) * xdata) -ydata;

開始点x0 =[1] 100年を使用してモデルを当てはめます。显示オプションを“通路”に設定して,解法プロセスを検証します。输出構造体を取得し,解法プロセスの詳細情報を取得します。

x0 =[1] 100年;选择= optimoptions (“lsqnonlin”，“显示”，“通路”）;[x, resnorm残留,exitflag,输出]= lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项);

一阶迭代范数function -count f(x) step最优性0 3 359677 2.88e+04目标函数返回Inf;尝试一个新的观点…1 6 359677 11.6976 - 2.88 e + 04 2 9 321395 0.5 4.97 4.97 e + e + 04年3 321395 1 04 4 15 292253 0.25 - 7.06 e + 04 5 18 292253 0.5 - 7.06 e + 04 21 270350 24 270350 0.25 1.15 0.125 1.15 e + 05年7 e + 05年8 27 252777 0.0625 - 1.63 e + 05年9 30 252777 0.125 - 1.63 e + 05年10 33 243877 0.03125 - 7.48 e + 04年11 36 243660 0.0625 - 8.7 e + 04 12 39 243276 0.0625 - 2 e + 04 13 42 243174 0.0625 - 1.14 e + 04 1445 242999 0.125 - 5.1 e + 03 15 48 242661 0.25 - 2.04 e + 03 16 51 241987 1.04 0.5 1.91 e + 03 17 54 240643 1 e + 03 18 57 237971 2 3.36 e + 03 19 60 232686 4 6.04 e + 03 20 63 222354 8 1.2 e + 04 21 66 202592 16 2.25 e + 32 04 22 69 166443 4.05 6.68 e + e + 04 23 72 106320 64 24 75 28704.7 128 8.31 e + 04 04 25 78 89.7947 140.674 2.22 e + 04 26 81 9.50489 9.57381 2.02599 684 27 840.0114局部最小可能。Lsqnonlin停止的原因是相对于初始值的平方和的最终变化小于函数的容差值。

出力構造体を検証し,解法プロセスの詳細情報を取得します。

输出

输出=结构体字段:firstorderopt: 0.0114 iterations: 28 funcCount: 87 cgiterations: 0 algorithm: 'trust-region- reflection ' stepsize: 4.6226e-04 message: '…'

比較のために,算法オプションを“levenberg-marquardt”に設定します。

选项。算法=“levenberg-marquardt”；[x, resnorm残留,exitflag,输出]= lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项);

迭代一阶范数函数计数残差最优性Lambda step 0 3 359677 2.88e+04 0.01目标函数返回Inf;尝试一个新的观点…1 100000 0.280777 340761 3.91 e + 04 2 16 304661 5.97 e + 04 10000 0.373146 297292 6.55 e + 21 04 288240 e + 06 0.0589933 - 4 24 7.57 e + 28日04 100000 0.0645444 275407 1.01 e + 05 06年1 e + 0.0741266 6 31 249954 1.62 e + 05 100000 0.094571 245896 36 1.35 e + 05年1 e + 0.0133606 07年8 39 243846 7.26 e + 04 1 e + 06年9 42 243568 5.66 0.00944311 0.00821622 e + 04 100000 45 2434241.61 e + 04 10000 0.00777936 243322 8.8 e + 03年11 48 1000 0.0673933 242408 5.1 e + 51 03 100 0.675209 233628年54 13日1.05 e + 04 10 6.59804 169089 8.51 e + 57 04 1 54.6992 15 60 30814.7 1.54 e + 05年0.1 196.939 63 147.496 8 e + 03 0.01 129.795 66 9.51503 117 0.001 9.96069 18 19 69 9.50489 0.0714 0.0001 0.080486 72 9.50489 5.07028 4.96 e-05 1 e-05 e-05当地最小的可能的。Lsqnonlin停止的原因是当前步长的相对大小小于步长公差的值。

“levenberg-marquardt”の方が少ない反復回数で収束していますが,関数評価の回数はほぼ同じです。

输出

输出=结构体字段:cgiterations: 19 funcCount: 72 stepsize: 5.0703e-05 cgiterations: [] firstderopt: 4.9629e-05 algorithm: 'levenberg-marquardt' message: '…'