Main Content

norminv

逆正規累積分布関数

ページ内をすべて折りたたむ

構文

x =norminv(p)
x =norminv(p,mu)
x =norminv(p,mu,sigma)
[x,xLo,xUp] = norminv(p,mu,sigma,pCov)
[x,xLo,xUp] = norminv(p,mu,sigma,pCov,alpha)

説明

例

x= norminv(p)は、p内の確率値で評価した、標準正規分布の累積分布関数 (cdf) の逆関数を返します。

x= norminv(p,mu)は、p内の確率値で評価した、平均muおよび単位標準偏差をもつ正規分布 cdf の逆関数を返します。

例

x= norminv(p,mu,sigma)は、p内の確率値で評価した、平均muおよび標準偏差sigmaをもつ正規分布 cdf の逆関数を返します。

[x,xLo,xUp] = norminv(p,mu,sigma,pCov)は、muとsigmaが推定値である場合のxの 95% 信頼限界 [xLo,xUp] も返します。pCovは、推定されたパラメーターの共分散行列です。

例

[x,xLo,xUp] = norminv(p,mu,sigma,pCov,alpha)は、信頼区間 [xLo,xUp] の信頼度が100(1–alpha)% であることを指定します。

例

すべて折りたたむ

ライブ スクリプトを開く

標準正規分布の値の 95% を含む区間を見つけます。

x =norminv([0.025 0.975])
x =1×2-1.9600 1.9600

区間xは、単なる区間ではなく、最小区間であることに注意してください。別の区間を求めます。

xl = norminv([0.01 0.96])
xl =1×2-2.3263 1.7507

区間x1は、確率の 95% も含んでいますが、xより広い区間です。

ライブ スクリプトを開く

平均muおよび標準偏差sigmaをもつ正規分布について、p内の確率値で評価した cdf の逆関数の値を計算します。

p = 0:0.25:1; mu = 2; sigma = 1; x = norminv(p,mu,sigma)
x =1×5-Inf 1.3255 2.0000 2.6745 Inf

異なる平均パラメーターをもつさまざまな正規分布について、0.5 で評価した cdf の逆関数の値を計算します。

mu = [-2,-1,0,1,2]; sigma = 1; x = norminv(0.5,mu,sigma)
x =1×5-2 -1 0 1 2
ライブ スクリプトを開く

正規分布パラメーターの最尤推定量(标定)を求めてから,対応するcdfの逆関数の値について信頼区間を求めます。

平均 5 および標準偏差 2 をもつ正規分布から 1000 個の正規乱数を生成します。

rng('default')% For reproducibilityn = 1000;% Number of samplesx =normrnd(5,2,[n,1]);

mleを使用して、分布パラメーター (平均と標準偏差) の MLE を求めます。

phat = mle(x)
phat =1×24.9347 1.9969
muHat = phat(1); sigmaHat = phat(2);

normlikeを使用して、分布パラメーターの共分散を推定します。関数normlikeは、MLE がその MLE の推定に使用された標本と共に渡された場合、漸近共分散行列に対する近似を返します。

[~,pCov] = normlike([muHat,sigmaHat],x)
pCov =2×20.0040 -0.0000 -0.0000 0.0020

0.5 における cdf の逆関数の値およびその 99% 信頼区間を求めます。

[x,xLo,xUp] = norminv(0.5,muHat,sigmaHat,pCov,0.01)
x =4.9347
xLo = 4.7721
xUp = 5.0974

xは、パラメーターmuHatおよびsigmaHatをもつ正規分布を使用した cdf の逆関数の値です。区間[xLo,xUp]は、0.5 で評価した cdf の逆関数の値の 99% 信頼区間であり、pCovを使用した場合のmuHatおよびsigmaHatの不確実性を考慮しています。99% 信頼区間は、cdf の逆関数の真の値が[xLo,xUp]に含まれる確率が 0.99 であることを意味します。

入力引数

すべて折りたたむ

cdf の逆関数 (icdf) を評価する確率値。スカラー値、または各要素が範囲[0,1]にあるスカラー値の配列を指定します。

信頼区間[xLo,xUp]を計算するようpCovに指定した場合、pはスカラー値でなければなりません。

複数の値で icdf を評価するには、配列を使用してpを指定します。複数の分布の icdf を評価するには、配列を使用してmuとsigmaを指定します。入力引数p、muおよびsigmaの 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、norminvは配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。xの各要素は、p内の対応する要素で評価された、muおよびsigma内の対応する要素によって指定された分布の icdf の値です。

例:[0.1,0.5,0.9]

データ型:single|double

正規分布の平均。スカラー値、またはスカラー値の配列を指定します。

信頼区間[xLo,xUp]を計算するようpCovに指定した場合、muはスカラー値でなければなりません。

複数の値で icdf を評価するには、配列を使用してpを指定します。複数の分布の icdf を評価するには、配列を使用してmuとsigmaを指定します。入力引数p、muおよびsigmaの 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、norminvは配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。xの各要素は、p内の対応する要素で評価された、muおよびsigma内の対応する要素によって指定された分布の icdf の値です。

例:[0 1 2; 0 1 2]

データ型:single|double

正規分布の標準偏差。正のスカラー値、または正のスカラー値の配列を指定します。

信頼区間[xLo,xUp]を計算するようpCovに指定した場合、sigmaはスカラー値でなければなりません。

複数の値で icdf を評価するには、配列を使用してpを指定します。複数の分布の icdf を評価するには、配列を使用してmuとsigmaを指定します。入力引数p、muおよびsigmaの 1 つ以上が配列である場合、配列のサイズは同じでなければなりません。この場合、norminvは配列入力と同じサイズの定数配列に各スカラー入力を拡張します。xの各要素は、p内の対応する要素で評価された、muおよびsigma内の対応する要素によって指定された分布の icdf の値です。

例:[1 1 1; 2 2 2]

データ型:single|double

推定値muおよびsigmaの共分散。2行2列の行列を指定します。

pCovを指定して信頼区間[xLo,xUp]を計算する場合、p、muおよびsigmaはスカラー値でなければなりません。

muとsigmaはmleを使用して、muとsigmaの共分散はnormlikeを使用して推定できます。たとえば、正規分布 cdf の逆関数の値の信頼区間を参照してください。

データ型:single|double

信頼区間の有意水準。範囲 (0,1) のスカラーを指定します。信頼度は100(1–alpha)% です。alphaは、真の値が信頼区間に含まれない確率です。

例:0.01

データ型:single|double

出力引数

すべて折りたたむ

p内の確率値で評価した icdf の値。スカラー値、またはスカラー値の配列として返されます。xは、必要なスカラー拡張後のp、muおよびsigmaと同じサイズになります。xの各要素は、p内の対応する要素で評価された、muおよびsigma内の対応する要素によって指定された分布の icdf の値です。

xの信頼限界の下限。スカラー値、またはスカラー値の配列として返されます。xLoはxと同じサイズになります。

xの信頼限界の上限。スカラー値、またはスカラー値の配列として返されます。xUpはxと同じサイズになります。

詳細

すべて折りたたむ

正規分布

正規分布は、パラメーターを 2 つもつ曲線群です。1 つ目のパラメーターµは平均です。2 番目のパラメーターσは標準偏差です。

標準正規分布は、ゼロ平均と単位標準偏差をもちます。

逆正規関数は、正規累積分布関数を使用して、次のように定義されます。

x = F − 1 ( p | μ , σ ) = { x : F ( x | μ , σ ) = p } ,

ここで

p = F ( x | μ , σ ) = 1 σ 2 π ∫ − ∞ x e − ( t − μ ) 2 2 σ 2 d t .

結果 x は、目的の確率 p を指定した積分方程式の解です。

アルゴリズム

  • 関数norminvは逆相補誤差関数误差补函数invを使用します。norminvと误差补函数invの関係は次のようになります。

    norminv ( p ) = − 2 误差补函数inv ( 2 p )

    逆相補誤差関数误差补函数inv(x)は误差补函数inv(erfc(x))=xと定義され、相補誤差関数误差补函数(x)は次のように定義されます。

    误差补函数 ( x ) = 1 − erf ( x ) = 2 π ∫ x ∞ e − t 2 d t .

  • 関数norminvは、デルタ法を使用してxの信頼限界を計算します。norminv(p,mu,sigma)はmu + sigma*norminv(p,0,1)と等価です。したがって、関数norminvはデルタ法によりmuとsigmaの共分散行列を使用してmu + sigma*norminv(p,0,1)の分散を推定し、この分散の推定値を使用して信頼限界を求めます。大規模な標本からmu、sigmaおよびpCovを推定する場合、計算された信頼限界は必要な信頼度を近似的に提供します。

代替機能

  • norminvは正規分布専用の関数です。Statistics and Machine Learning Toolbox™ には、さまざまな確率分布をサポートする汎用関数icdfもあります。icdfを使用するには、NormalDistribution確率分布オブジェクトを作成し入力引数として渡すか、確率分布名とそのパラメーターを指定します。分布専用の関数norminvは汎用関数icdfより高速です。

参照

[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1964.

[2] Evans, M., N. Hastings, and B. Peacock. Statistical Distributions. 2nd ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

拡張機能

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

||||||

トピック