反馈回路的稳定性

稳定性通常意味着所有内部信号保持有界。这是对控制系统的标准要求，以避免对设备进行控制和损坏。对于线性反馈系统，可以通过查看闭环传输功能的极点来评估稳定性。考虑例如SISO反馈循环：

图1：Siso反馈循环。

对于单位循环增益K.，可以计算闭环传递函数T.使用：

特遣部队([G =。5 1.3]，[1 1.2 1.6 0]);t =反馈（g，1）;

得到…的极点T.、类型

极(T)

ANS = -0.2305 + 1.3062i -0.2305  -  1.3062i -0.7389 + 0.0000i

反馈循环k = 1是稳定的，因为所有极点都有负的实部。

稳定到什么程度才算稳定?

检查闭环杆为我们提供了对稳定性的二进制评估。在实践中，了解稳健（或脆弱）稳定性是更有用的。一个稳健性的指示是在稳定性丢失之前的环路增益可以改变。您可以使用根轨迹图来估计范围K.循环稳定的值：

rlocus（g）

点击轨迹与y轴相交的点，可以看到这个反馈回路是稳定的

这个范围表明k = 1，在失去稳定性之前，循环增益可以增加270％。

收益和阶段边距

环路增益的变化仅是稳定稳定性的一个方面。通常，不完美的植物建模意味着增益和相位均不确切地知道。由于建模误差在增益交叉频率附近最损害（打开环增益为0dB的频率），因此它还可以在此频率下容忍多相变化。

相位保证金测量增益交叉频率需要多相变化以失去稳定性。类似地，增益边缘测量在增益交叉频率下需要相对增益变化以失去稳定性。在一起，这两个数字估计了闭环稳定性的“安全距”。稳定性边缘越小，易易稳定性越少。

您可以如下方式在波德图上显示增益和相位裕度。首先创造情节:

BODE（G），网格

然后，右键单击绘图并选择特点 - >最小稳定性边距子菜单。最后，单击Blue Dot标记。得到的图如下所示：

这表明增益裕度约为9db，相位裕度约为45度。相应的闭环阶跃响应表现出约20%的超调和一些振荡。

步骤（t），标题（'k = 1'的闭环响应的）

如果我们增加增益k = 2时，稳定裕度降为

[gm，pm] =边缘（2 * g）;GMDB = 20 * log10（GM）%增益裕度，以分贝计下午％相余量

GmdB = 2.7435 Pm = 8.6328

并且闭环响应阻尼振荡差，近不稳定的标志。

步骤（反馈（2 * g，1）），标题（“k = 2”的闭环响应的）

具有多个增益或相带的系统

一些系统有多个增益交叉或相位交叉频率，这导致多个增益或相位裕度值。例如，考虑反馈循环

图2.：具有多个相交的反馈循环

的闭环响应k = 1是稳定的：

G = TF（20，[117]）* TF（[1 3.2 7.2]，[1 -1.2 0.8]）* TF（[1 -8 400]，[1 33 700]）;t =反馈（g，1）;步骤（t），标题（'k = 1'的闭环响应的）

为了评估这种循环的稳健稳定性，绘制其Bode响应：

BODE（G），网格

然后，右键单击绘图并选择特征 - >所有稳定性边缘子菜单显示所有交叉频率和相关稳定性边距。得到的图如下所示。

注意，有两个180°的相交，相应的增益边缘为-9.35db和+ 10.6dB。负增益边距表明，通过降低增益，稳定性损失，而积极增益利润表明通过增加增益来损失稳定性。通过绘制加号6dB增益变化的闭环步骤响应来确认这一点k = 1：

k1 = 2;T1 =反馈(G * k1, 1);k2 = 1/2;T2 =反馈(G * k2, 1);步骤(T)'B'T1,'r', T2,'G'12)、联想(“k = 1”那“k = 2”那“k = 0.5”的）

该图显示了在增益值较小和较大时振荡的增加。

您可以使用命令allmargin.计算所有稳定裕度。请注意，收益边际是用收益比表示的，而不是dB。使用MAG2DB.将值转换为dB。

m = allmargin(G) GainMargins_dB = mag2db(m. gainmargin)

M =带字段的结构：GainMargin：[0.3408 3.3920] Gmfrequency：[1.9421 16.4807] Phasemargin：68.1140 PMFRequency：7.0776 Delaymargence：0.1680 DMFrequency：7.0776稳定：1 GainMargins_DB = -9.3510 10.6091