使用遗传算法解决混合整数工程设计问题,具体问题具体分析

悬臂梁的设计问题

支持加强悬臂梁的一端,在自由端和负载应用,如下列图所示。金宝app光束必须能够支持给定的负载金宝app $$P$$在一个固定的距离 $$l$$的支持。金宝app梁的设计师可以改变宽度( $$b_{我}$$)和高度( $$h_{我}$$)的每个步骤,或部分。每个部分的悬臂长度相同, $$l=l_1$$。

梁的体积

梁的体积 $$V$$是各个部分的体积的总和。

$$V=l(b_1{h}_1+b_2{h}_2+b_3{h}_3+b_4{h}_4+b_5{h}_5)$$。

限制设计:弯曲应力

考虑一个悬臂梁,其横截面中心坐标中心在梁的自由端。弯曲应力在一个点 $$(x,y,z)$$在梁的方程

$${\sigma }_b=米(x)y/我$$,

在哪里 $$米(x)$$弯矩在吗 $$x$$, $$x$$距离结束的负载, $$我$$是梁的惯性矩。

图中所示的加强悬臂梁中,每个部分的梁的最大力矩 $$P{D}_{我}$$,在那里 $$D_{我}$$最大距离最后加载吗 $$P$$每个部分的光束。因此,的最大应力我部分的梁 $${\sigma }_{我}$$是由

$${\sigma }_{我}=P{D}_{我}(h_{我}/2)/{我}_{我}$$,

的最大应力出现在梁的边缘, $$y=h_{我}/2$$。该地区的惯性矩我部分梁是由

$${我}_{我}=b_{我}{h}_{我}^3/12$$。

用这个表达式的方程 $${\sigma }_{我}$$给了

$${\sigma }_{我}=6P{D}_{我}/b_{我}{h}_{我}^2$$。

的每一部分悬臂的弯曲应力不得超过最大允许压力 $${\sigma }_{米\mathrm{一个}x}$$。因此,五个弯曲应力约束悬臂的为每个步骤(一):

限制设计:偏转

你可以计算悬臂梁的挠度使用卡斯蒂利亚诺第二定理,即

$$\delta =\frac{\partial U}{\partial P}$$,

在哪里 $$\delta$$梁的挠度, $$U$$是能量存储在梁由于作用力吗 $$P$$。

能量存储在一个悬臂梁是由

$$U={\int }_0^l{米}^2/2E我dx$$,

在哪里 $$米$$应用力的时刻吗 $$x$$。

考虑到 $$米=Px$$悬臂梁,你可以写前面的方程

$$U=P^2/2E{\int }_0^l((x+4l{)}^2/{我}_1+(x+3l{)}^2/{我}_2+(x+2l{)}^2/{我}_3+(x+l{)}^2/{我}_4+x^2/{我}_5]dx$$,

在哪里 $${我}_n$$惯性矩的面积nth悬臂的一部分。评估积分给这个表达式 $$U$$

$$U=(P^2/2)(l^3/3E)(61/{我}_1+37/{我}_2+19/{我}_3+7/{我}_4+1/{我}_5)$$。

应用卡斯蒂利亚诺定理,最后给出梁的挠度

$$\delta =P{l}^3/3E(61/{我}_1+37/{我}_2+19/{我}_3+7/{我}_4+1/{我}_5)$$。

悬臂梁的挠度 $$\delta$$必须小于最大允许偏差 $${\delta }_{米\mathrm{一个}x}$$,提供的约束

$$P{l}^3/3E(61/{我}_1+37/{我}_2+19/{我}_3+7/{我}_4+1/{我}_5)\le {\delta }_{米\mathrm{一个}x}$$。

限制设计:长宽比

对于悬臂的每一步,长宽比不得超过最大允许长宽比 $${\mathrm{一个}}_{米\mathrm{一个}x}$$。也就是说,

$$h_{我}/b_{我}\le {\mathrm{一个}}_{米\mathrm{一个}x}$$为 $$我=1,。。。,5$$。

限制设计:边界和整数约束

光束可以加工的第一步只精确到厘米。也就是说, $$b_1$$和 $$h_1$$必须是整数。其余的变量是连续的。变量的范围是:

设计参数对这个问题

这个问题在这个例子中,最后加载梁必须支持金宝app $$P=50000N$$。

梁长度和最大挠度结束:

最大允许应力在梁的每一步 $${\sigma }_{米\mathrm{一个}x}=14000N/c{米}^2$$。

杨氏模量的光束的每一步 $$E=2\times 10^{7}N/c{米}^2$$。

具体问题具体分析设置

关于这个问题创建优化变量。第一部分的宽度和高度变量类型的光束是整数,所以你必须创建它们独立于其他四个变量,这是连续的。

b1 = optimvar (“b1”,“类型”,“整数”,“下界”,1“UpperBound”5);h1 = optimvar (“标题”,“类型”,“整数”,“下界”30岁的“UpperBound”,65);公元前= optimvar (“公元前”4“下界”(2.4 2.4 - 1 1),“UpperBound”[3.1 - 3.1 5 5]);hc = optimvar (“hc”4“下界”(45岁30 30),“UpperBound”[60 60 65 65]);

为了方便起见,把高度和宽度变量成单个变量。然后您可以轻松表达目标和约束这些变量。

h = (h1, hc);b = (b1;公元前);

创建一个优化问题与梁的体积为目标函数,在每一步(或部分)的光束 $$l_1=100$$厘米长:体积= $$l_1\sum h_{我}{w}_{我}$$。

l1 = 100;%的每一步悬臂的长度概率= optimproblem (“客观”,l1 *点(h, b));

创建约束压力。

P = 50000;%端负载E = 2 e7;% ^ N /厘米2中杨氏模量铁镍薄板= 2.7;%最大偏转结束sigmaMax = 14000;%最大应力在梁的每个部分aMax = 20;%最大比例的每个部分压力= 6 * P * L_1. / (b。* (h ^ 2));stepnum = (5: 1:1);压力=压力。* stepnum;prob.Constraints。压力=压力< = sigmaMax;

创建约束偏转。

deflectionMultiplier = (P * l1 ^ 3 / E) * (28 244 148 76 4);bh3 = 1. / (b。* (h ^ 3));prob.Constraints.deflection = deflectionMultiplier * bh3 < =国际接轨;

创建纵横比的限制。

prob.Constraints。一个spect = h <= aMax*b;

审查问题的设置。

显示(概率)

OptimizationProblem:解:b1,公元前,h1, hc地点:b1, h1整数最小化:100 * h1 * b1公元前+ 100 * hc(1) *(1) +公元前100 * hc (2) * (2) + 100 * hc(3) *(3)公元前公元前+ 100 * hc(4) *(4)受压力:arg_LHS < = arg_RHS地点:最长= 0 (5、1);__arg1 = 0 (5、1);__arg1 (1) = h1;__arg1 (2:5) = hc;最长(1)= b1;公元前最长(2:5)=;arg_LHS =((30000000。/(最长(:)* __arg1 (:)。^ 2))。* extraParams {1});最长= 14000;__arg1 =最长((1、5));arg_RHS = __arg1 (:); extraParams{1}: 5 4 3 2 1 subject to deflection: arg_LHS <= 2.7 where: arg2 = zeros(5, 1); arg1 = zeros(5, 1); arg1(1) = h1; arg1(2:5) = hc; arg2(1) = b1; arg2(2:5) = bc; arg_LHS = (extraParams{1} * (1 ./ (arg2(:) .* arg1(:).^3))); extraParams{1}: 610000 370000 190000 70000 10000 subject to aspect: -20*b1 + h1 <= 0 -20*bc(1) + hc(1) <= 0 -20*bc(2) + hc(2) <= 0 -20*bc(3) + hc(3) <= 0 -20*bc(4) + hc(4) <= 0 variable bounds: 1 <= b1 <= 5 2.4 <= bc(1) <= 3.1 2.4 <= bc(2) <= 3.1 1 <= bc(3) <= 5 1 <= bc(4) <= 5 30 <= h1 <= 65 45 <= hc(1) <= 60 45 <= hc(2) <= 60 30 <= hc(3) <= 65 30 <= hc(4) <= 65

解决这个问题

设置选项使用适度人口规模150人,400年一代又一代的温和的最大数量,比默认的精英计数的一个小函数1 e-8公差,和一块功能显示在迭代函数值。

选择= optimoptions (@ga,…“PopulationSize”,150,…“MaxGenerations”,400,…“EliteCount”10…“FunctionTolerance”1 e-8…“PlotFcn”,@gaplotbestf);

解决问题,指定遗传算法解算器和选择。

rng默认的%的再现性[溶胶,fval exitflag] =解决(概率,“规划求解”,“遗传算法”,“选项”选择)

用遗传算法解决问题。

优化终止:超过了一代又一代的最大数目。

索尔=结构体字段:b1:公元前3:x1双[4]h1: 60 hc: [4 x1双)

fval = 6.3671 e + 04

exitflag = SolverLimitExceeded

查看变量及其边界的解决方案。

宽度= [sol.b1; sol.bc];身高= [sol.h1; sol.hc];widthbounds = [b1。lowerBound b1.UpperBound; bc.LowerBound bc.UpperBound]; heightbounds = [h1.LowerBound h1.UpperBound; hc.LowerBound hc.UpperBound]; T = table(widths,heights,widthbounds,heightbounds,…“VariableNames”,(“宽度”“高度”“宽度范围”“高度界限”])

T =5×4表宽度高度宽度范围高度范围交_______ _________________ 3 60 1 5 65 2.8105 56.211 2.4 3.1 45 45 60 60 2.6183 52.301 2.4 3.1 2.2351 43.822 1 5 65 65 1.902 33.566 - 1 5 30

解决方案是没有任何界限。第一个解决方案价值变量是整数,指定。

添加离散Noninteger变量约束

假设工程师学习,第二个和第三个步骤悬臂可以有宽度和高度选择的一套标准。的约束,是相同的一个解决这个问题[1]。

首先,描绘出额外的约束加入到优化:

为了解决这个问题,您需要指定的变量 $$wc(1)$$, $$wc(2)$$, $$hc(1)$$, $$hc(2)$$离散变量。理想情况下,您将使用 $$\mathrm{年代}(x_j)$$作为离散值, $$\mathrm{年代}$$代表和允许的值 $$x_j$$变量代表一个问题。然而,您不能使用一个优化变量作为一个索引。您可以通过调用绕过这个问题fcn2optimexpr。

widthlist = (2.4, 2.6, 2.8, 3.1);heightlist = [45 55 50 60];b23 = optimvar (“w23”2,“类型”,“整数”,…“下界”,1“UpperBound”长度(widthlist));h23 = optimvar (“h23”2,“类型”,“整数”,…“下界”,1“UpperBound”长度(heightlist));b45 = optimvar (“b45”2,“下界”,1“UpperBound”5);h45 = optimvar (“h45”2,“下界”30岁的“UpperBound”,65);%首选语法是我们= [widthlist (b23 (1)); widthlist (b23 (2)));然而,%这个语法是非法的。%,而不是叫fcn2optimexpr。我们= fcn2optimexpr (@ (x) [widthlist (x (1)); widthlist (x (2))), b23);他= fcn2optimexpr (@ (x) [heightlist (x (1)); heightlist (x (2))), h23);

早些时候,创建表达式b和h来表示变量。

b = (b1;我们;b45);h = (h1;他;h45);

其余问题的配方是一样的。

prob2 = optimproblem (“客观”,l1 *点(h, b));

创建约束压力。

压力= 6 * P * L_1. / (b。* (h ^ 2));stepnum = (5: 1:1);压力=压力。* stepnum;prob2.Constraints。压力=压力< = sigmaMax;

创建约束偏转。

deflectionMultiplier = (P * l1 ^ 3 / E) * (28 244 148 76 4);bh3 = 1. / (b。* (h ^ 3));prob2.Constraints.deflection = deflectionMultiplier * bh3 < =国际接轨;

创建纵横比的限制。

prob2.Constraints。一个spect = h <= aMax*b;

审查问题的设置。

显示(prob2)

OptimizationProblem:解:b1, b45, h1, h23, h45, w23地点:b1, h1, h23 w23整数最小化:(100 * (__arg1 (:)。‘*最长(:)))地点:最长= 0 (5、1);__arg1 = 0 (5、1);anonymousFunction2 = @ (x) [heightlist (x (1)); heightlist (x (2)));__arg1 (1) = h1;__arg1 (2:3) = anonymousFunction2 (h23);__arg1 (4:5) = h45;anonymousFunction1 = @ (x) [widthlist (x (1)); widthlist (x (2)));最长(1)= b1;最长(2:3)= anonymousFunction1 (w23);最长(4:5)= b45; subject to stress: arg_LHS <= arg_RHS where: arg2 = zeros(5, 1); arg1 = zeros(5, 1); anonymousFunction2 = @(x)[heightlist(x(1));heightlist(x(2))]; arg1(1) = h1; arg1(2:3) = anonymousFunction2(h23); arg1(4:5) = h45; anonymousFunction1 = @(x)[widthlist(x(1));widthlist(x(2))]; arg2(1) = b1; arg2(2:3) = anonymousFunction1(w23); arg2(4:5) = b45; arg_LHS = ((30000000 ./ (arg2(:) .* arg1(:).^2)) .* extraParams{1}); arg2 = 14000; arg1 = arg2(ones(1,5)); arg_RHS = arg1(:); extraParams{1}: 5 4 3 2 1 subject to deflection: arg_LHS <= 2.7 where: arg2 = zeros(5, 1); arg1 = zeros(5, 1); anonymousFunction2 = @(x)[heightlist(x(1));heightlist(x(2))]; arg1(1) = h1; arg1(2:3) = anonymousFunction2(h23); arg1(4:5) = h45; anonymousFunction1 = @(x)[widthlist(x(1));widthlist(x(2))]; arg2(1) = b1; arg2(2:3) = anonymousFunction1(w23); arg2(4:5) = b45; arg_LHS = (extraParams{1} * (1 ./ (arg2(:) .* arg1(:).^3))); extraParams{1}: 610000 370000 190000 70000 10000 subject to aspect: arg_LHS <= arg_RHS where: arg1 = zeros(5, 1); arg1(1) = h1; anonymousFunction2 = @(x)[heightlist(x(1));heightlist(x(2))]; arg1(2:3) = anonymousFunction2(h23); arg1(4:5) = h45; arg_LHS = arg1(:); arg1 = zeros(5, 1); anonymousFunction1 = @(x)[widthlist(x(1));widthlist(x(2))]; arg1(1) = b1; arg1(2:3) = anonymousFunction1(w23); arg1(4:5) = b45; arg_RHS = (20 .* arg1(:)); variable bounds: 1 <= b1 <= 5 1 <= b45(1) <= 5 1 <= b45(2) <= 5 30 <= h1 <= 65 1 <= h23(1) <= 4 1 <= h23(2) <= 4 30 <= h45(1) <= 65 30 <= h45(2) <= 65 1 <= w23(1) <= 4 1 <= w23(2) <= 4

解决离散变量约束的问题

解决问题,指定遗传算法解算器和选择。

rng默认的%的再现性[sol2, fval2 exitflag2] =解决(prob2,“规划求解”,“遗传算法”,“选项”选择)

用遗传算法解决问题。

优化终止:超过了一代又一代的最大数目。

sol2 =结构体字段:b1: 3 b45 (2 x1双):h1: 60 h23: [2 x1双]h45: [2 x1双]w23: [2 x1双)

fval2 = 6.4803 e + 04

exitflag2 = SolverLimitExceeded

客观价值增加,因为增加约束只能增加的目标。

查看解决方案并比较其边界。

宽度= [sol2.b1; widthlist (sol2.w23 (1)); widthlist (sol2.w23 (2)); sol2.b45);身高= [sol2.h1; heightlist (sol2.h23 (1)); heightlist (sol2.h23 (2)); sol2.h45);widthbounds = [b1。lowerBound b1.UpperBound; widthlist(1) widthlist(end); widthlist(1) widthlist(end); b45.LowerBound b45.UpperBound]; heightbounds = [h1.LowerBound h1.UpperBound; heightlist(1) heightlist(end); heightlist(1) heightlist(end); h45.LowerBound h45.UpperBound]; T = table(widths,heights,widthbounds,heightbounds,…“VariableNames”,(“宽度”“高度”“宽度范围”“高度界限”])

T =5×4表宽度高度宽度范围高度范围交_______ _________________ 3 60 55 1 5 65 3.1 2.4 3.1 2.6 45 60 50 60 2.286 - 45.72 2.4 - 3.1 45 1 5 65 65 1.8532 34.004 - 1 5 30

唯一的解决办法在绑定变量是第二部分的宽度,为3.1,其最大值。

引用

[1]Thanedar, p . B。,G. N. Vanderplaats. "Survey of Discrete Variable Optimization for Structural Design."结构工程杂志121(3),1995年,页301 - 306。