二阶锥规划算法- MATLAB和Simulink MathWorks한국金宝app - 金宝app,下载188bet金宝搏,金宝搏官方网站

二阶锥规划算法

二阶锥编程的定义

二阶锥编程问题具有表单

$\underset{x}{闵} f^{T} x$

受约束

$\begin{matrix} ‖ {一个}_{SC.} （我） \cdot x - b_{SC.} （我） ‖ \leq. d_{SC.}^{T} （我） \cdot x - γ. （我） \\ 一个 \cdot x \leq. b \\ Aeq \cdot x ＝说真的 \\ 磅 \leq. x \leq. UB. ． \end{matrix}$

f，x，b，说真的，磅,UB.是载体，和一个和Aeq是矩阵。对于每一个人我，矩阵一个_SC.（我），载体b_SC.（我）和d_SC.（我）和标量γ.（我）在您创建使用的二阶锥限制secondordercone．

也就是说，该问题具有一个线性目标函数和线性约束，以及一组二阶锥约束的形式 $‖ {一个}_{SC.} （我） \cdot x - b_{SC.} （我） ‖ \leq. d_{SC.}^{T} （我） \cdot x - γ. （我）$ ．

`coneprog`算法

的coneprog求解器使用Andersen，Roos和Terlaky中描述的算法[1]．该方法是一种类似于的内部点算法内点linprog算法．

标准形式

算法首先将问题放入标准格式．该算法增加了非负松弛变量，使问题具有一定的形式

$\underset{x}{闵} f^{T} x$

受约束

$\begin{array}{l} 一个 \cdot x ＝ b \\ x \in K ． \end{array}$

求解器扩展了线性系数矢量的尺寸f线性约束矩阵一个要考虑松弛变量。

该地区K是杂交产品洛伦兹锥体等式1和非负面纠结。转换每个凸锥

$‖ {一个}_{SC.} （我） \cdot x - b_{SC.} （我） ‖ \leq. d_{SC.}^{T} （我） \cdot x - γ. （我）$

到一个洛伦兹锥等式1，创建变量的列向量t₁，t₂、……t_n＋1：

$\begin{matrix} t_{1} ＝ d^{T} x - γ. \\ t_{2 ：（ n + 1 ）} ＝ {一个}_{SC.} x - b_{SC.} ． \end{matrix}$

这里是变量的数量n对于每个锥体我是行的数量一个_SC.（我）.通过其定义，变量向量t满足不等式

‖ t_{2 ： （ n + 1 ）} ‖ \leq. t_{1} ．

（1)

等式1是洛伦兹锥的定义（n+1）变量。变量t出现在问题上代替变量x在凸区域K．

在内部，算法也使用旋转洛伦兹锥在圆锥约束的重新表述中，但本主题不涉及这种情况。详情请参见Andersen、Roos和Terlaky[1]．

添加Slack变量时，算法根据需要否定变量，并添加适当的常量，以便：

只有一个绑定的变量具有零的下限。
具有两个界限的变量具有零的较低限制，并且使用Slack变量，没有上限。
没有边界的变量被放置在Lorentz锥体中，并作为约束变量。此松弛变量不是任何其他表达式，目标或约束的一部分。

双重问题

双锥是

$K_{＊} ＝｛年代： {年代}^{T} x \geq 0 \forall x \in K ｝．$

对偶问题是

$\underset{y}{马克斯} b^{T} y$

这样

${一个}^{T} y + 年代＝ f$

对于一些

$年代 \in K_{＊} ．$

双最优解决方案是一个点（y，年代）满足双重限制并最大化双目标。

均匀自对偶公式

为了处理可能不可行或无界的问题，算法增加了两个变量τ.和κ..并将问题交给均匀（等于零）和自我双重。

\begin{matrix} 一个 x - b τ. ＝ 0 \\ {一个}^{T} y + 年代 - f τ. ＝ 0 \\ - f^{T} x + b^{T} y - κ.. ＝ 0 \end{matrix}

(2）

还有约束条件

（ x ； τ. ） \in \bar{K} ， （ 年代 ； κ.. ） \in {\bar{K}}_{＊} ．

（3）

这里， $\bar{K}$ 是锥体K与非负实际线相邻，这是（x；τ.）.相似地 ${\bar{K}}_{＊}$ 是锥体 $K_{＊}$ 与非负实际线相邻，这是（年代；κ..）.在这种制剂中，以下引理显示τ.是可行的解决方案吗金宝搏官方网站κ..是一个不可行的问题的指标。

引理（[1]LEMMA 2.1）

让（x，τ.，y，年代，κ..是一个可行的解决方案等式2随着约束等式3.．

x^T年代+τκ= 0。
如果τ.> 0，则(x，y，年代) /τ.是标准形式二阶锥问题的原对偶最优解。
如果κ..> 0，这些严格不平等中的至少一个持有：

b^Ty＞ 0

f^Tx< 0。

如果第一次不等式持有，则标准形式，原始二阶锥问题是不可行的。如果第二个不等式持有，则标准形式，双二阶锥问题是不可行的。

综上所述，对于可行问题，变量τ.在原标准形式问题和齐次自对偶问题之间缩放解。对于不可行的问题，最终迭代(x，y，年代，τ.，κ..）为原始标准表单问题提供了不可行性证书。

起点

迭代的起始点为可行点:

x= 1，每个非负变量为1，每个洛伦兹锥第一个变量为1，否则为0。
y= 0。
年代=(1,0，…，0)为每个圆锥，1为每个非负变量。
τ.= 1。
κ..= 1。

中央路径

算法试图遵循中央路径，为下式的参数化解γ.从1朝向0减少。

\begin{matrix} 一个 x - b τ. ＝ γ. （ 一个 x_{0} - b {τ.}_{0} ） \\ {一个}^{T} y + 年代 - c τ. ＝ γ. （ {一个}^{T} y_{0} + {年代}_{0} - f {τ.}_{0} ） \\ - f^{T} x + b^{T} y - κ.. ＝ γ. （ - f^{T} x_{0} + b^{T} y_{0} - {κ..}_{0} ） \\ X 年代 e ＝ γ. {μ.}_{0} e \\ τ. κ.. ＝ γ. {μ.}_{0} ． \end{matrix}

（4）

每个下标为0的变量表示该变量的起始点。
变量X和年代是箭头头矩阵由x和年代载体分别。对于矢量x= (x₁，x₂，......，x_n]，箭头矩阵X有定义

$X ＝垫（ x ）＝［ \begin{matrix} x_{1} & x_{2 ： n}^{T} \\ x_{2 ： n} & x_{1} 我 \end{matrix} ］．$

根据其定义,X是对称的。
变量e是与每个锥体坐标相对应的1的矢量x₁洛伦兹锥坐标。
变量μ.₀有定义

${μ.}_{0} ＝ \frac{x_{0}^{T} {年代}_{0} + {τ.}_{0} {κ..}_{0}}{k + 1} ，$

在哪里k是非零元素的数量x₀．

中央路径从起点开始，并以最佳的解决方案结束到均匀的自我双重问题。

安德森，roos和terlaky[1]在Lemma 3.1中显示互补条件x^T年代= 0，在哪里x和年代是洛伦兹锥体的产品l，等于条件

$X_{我} {年代}_{我} e_{我} ＝ {年代}_{我} X_{我} e_{我} ＝ 0$

对于每个锥体我．在这里X_我=垫（x_我)，x_我是与洛伦兹锥相关的变量我，年代_我=垫（年代_我),e_我为相应维数的单位向量[1,0,0，…，0]。讨论表明，中心路径在其端点处满足互补条件。

搜索方向

在作为参数附近的中心路径附近获得点γ.从1朝向0降低，算法使用牛顿的方法。要查找的变量被标记为（x，τ.，y，年代，κ..）.让d_x代表搜索方向x变量等等。然后牛顿阶跃解出下面的线性方程组，由等式4.．

$\begin{matrix} 一个 d_{x} - b d_{τ.} ＝（ γ. - 1 ）（一个 x_{0} - b {τ.}_{0} ） \\ {一个}^{T} d_{y} + d_{年代} - f d_{τ.} ＝（ γ. - 1 ）（ {一个}^{T} y_{0} + {年代}_{0} - f {τ.}_{0} ） \\ - f^{T} d_{x} + b^{T} d_{y} - d_{κ..} ＝（ γ. - 1 ）（ - f^{T} x_{0} + b^{T} y_{0} - κ.. ） \\ X_{0} d_{年代} + {年代}_{0} d_{x} ＝ - X_{0} {年代}_{0} e + γ. {μ.}_{0} e \\ {τ.}_{0} d_{κ..} + {κ..}_{0} d_{t} 一个 u ＝ - {τ.}_{0} {κ..}_{0} + γ. {μ.}_{0} ． \end{matrix}$

算法通过步进得到下一个点d方向。

$［ \begin{matrix} x_{1} \\ {τ.}_{1} \\ y_{1} \\ \begin{array}{l} {年代}_{1} \\ {κ..}_{1} \end{array} \end{matrix} ］＝［ \begin{matrix} x_{0} \\ {τ.}_{0} \\ y_{0} \\ \begin{array}{l} {年代}_{0} \\ {κ..}_{0} \end{array} \end{matrix} ］ + α. ［ \begin{matrix} d_{x} \\ d_{τ.} \\ d_{y} \\ \begin{array}{l} d_{年代} \\ d_{κ..} \end{array} \end{matrix} ］$

对于一些步骤 $α. \in ［ 0 ， 1 ］$ ．

对于数值稳定性和加速的收敛，该算法根据Nesterov和Todd的建议进行比较步骤［８］．此外，该算法根据Mehrotra的预测器校正器的变种来校正步骤［7］．(详情请参见Andersen、Roos和Terlaky[1]．）

一步解决差异

前面的讨论涉及LinearSolver值“增强”指定的。求解器具有更改步骤计算以适应不同类型的问题的其他值。

“汽车”（默认） -coneprog选择步进求解器:
- 如果问题是稀疏的，步骤求解器就是“prodchol”．
- 否则，步进解算器为“增强”．
“正常”- 求解器使用变体“增强”当问题稀疏时是合适的步骤。看到安德森，roos和terlaky[1]．
“舒尔”- 求解器使用修改的SCHUR补充方法来处理少量密集列的稀疏问题。这种方法也适用于大锥。看见安德森［2］．
“prodchol”- 求解器使用Goldfarb和Scheinberg中描述的方法（［4］和［5］)用于处理带有几个密集列的稀疏问题。这种方法也适用于大锥。

迭代显示和停止条件

在每次迭代时k，算法计算三个相对收敛测度:

原始的不可行性

${Infeas}_{原始}^{k} ＝ \frac{‖ 一个 x_{k} - b {τ.}_{k} ‖}{马克斯（ 1 ， ‖ 一个 x_{0} - b {τ.}_{0} ‖ ）} ．$
双不可行性

${Infeas}_{双}^{k} ＝ \frac{‖ {一个}^{T} y_{k} + {年代}_{k} - f {τ.}_{k} ‖}{马克斯（ 1 ， ‖ {一个}^{T} y_{0} + {年代}_{0} - f {τ.}_{0} ‖ ）} ．$
间隙不可行

${Infeas}_{差距}^{k} ＝ \frac{| - f^{T} x_{k} + b^{T} y_{k} - {κ..}_{k} |}{马克斯（ 1 ， | - f^{T} x_{0} + b^{T} y_{0} - {κ..}_{0} | ）} ．$

通过指定迭代显示，可以在命令行中查看这三个统计信息。

选项= Optimoptions（'coneprog'，'展示'，“通路”）;

当问题是可行的并且求解器收敛时，所有三个都应该接近零。对于可行的问题，变量κ.._k趋近于0，变量τ._k趋近于正常数。

一个停止条件有些与间隙不可行性有所相关。停止条件是当以下最优性测量降低到最优耐受性以下。

${最优}^{k} ＝ \frac{| f^{T} x_{k} - b^{T} y_{k} |}{{τ.}_{k} + | b^{T} y_{k} |} ＝ \frac{| f^{T} x_{k} / {τ.}_{k} - b^{T} y_{k} / {τ.}_{k} |}{1 + | b^{T} y_{k} / {τ.}_{k} |} ．$

这个统计量测量了客观值的准确性。

在下列条件下，求解器也会停止并声明问题不可行的。这三种相对不可行的措施都小于c＝约束特许,

${τ.}_{k} \leq. c 马克斯（ 1 ， {κ..}_{k} ）．$

如果b^Ty_k＞ 0然后，求解器声明了原始问题是不可行的。如果f^Tx_k< 0然后，求解器声明了双重问题是不可行的。

该算法也停止何时

${μ.}_{k} \leq. c {μ.}_{0}$

和

${τ.}_{k} \leq. c 马克斯（ 1 ， {κ..}_{k} ）．$

在这种情况下，coneprog报告问题在数字上不稳定（退出标志-10）.

当至少一个不可缺陷措施大于时，剩余的停止条件发生约束特许并且计算的步长太小。在这种情况下，coneprog报告说明搜索方向变得太小，无法进一步进展（退出标志－7）.

参考

[1] Andersen，E. D.，C. Roos和T. Terlaky。关于实施锥形二次优化原始 - 双内点法的研究。数学。程序。,爵士。B95.，pp。249-277（2003）。https://doi.org/10.1007/S10107-002-0349-3.

[2]安德森，K。D.一种改进的舒克补充方法，用于处理内部点方法中的致密色谱柱。数学学报，22(3):348-356,1996。

[3] Ben-tal，Aharon和Arkadi Nemirovski。工程中的凸优化:建模，分析，算法。(1998)。可以在https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.455.2733&Rep=rep1&type=pdf.．

Goldfarb, D.和K. Scheinberg。线性规划内点法中处理密集列的积型cholesky分解方法。数学编程，99（1）：1-34,2004。

[5] Goldfarb，D.和K.Scheinberg。二阶锥规划内点法中的积型cholesky分解。数学规划，103（1）：153-179,2005。

罗志权，Jos F. Sturm，张树忠。锥形凸编程的二元和自二种性。(1996)。可以在https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.48.6432

[7] Mehrotra，Sanjay。“关于基于双重内部点法的实施。”优化学报2,没有。4(1992年11月):575-601。https://doi.org/10.1137/0802028．

于[8]涅斯捷罗夫。E.和M. J.托德。《凸规划的自尺度障碍和内点方法》。运营数学研究22,没有。1(1997年2月):1 - 42。https://doi.org/10.1287/moor.22.1.1．

另请参阅

coneprog|secondordercone