MEMS设备

MEMS器件通常由悬挂在固定电极上的高纵横比的可移动细束或电极组成。

驱动、开关等信号和信息处理功能可以利用移动电极和固定电极之间施加电压引起的电极变形。FEM为MEMS器件的内部工作特性提供了一种方便的工具，可以预测温度、应力、动态响应特性和可能的失效机制。最常见的MEMS开关之一是悬挂在接地电极上的一系列悬臂梁。

本例使用下列几何模型来模拟MEMS开关。上电极长度为150 μm，厚度为2 μm。杨氏模量E为170 GPa，泊松比υ为0.34。下电极长50 μm，厚2 μm，位于上电极最左端100 μm处。上下电极间距为2 μm。

施加在上电极和接地面之间的电压会在导体表面产生静电荷，而静电荷反过来又会产生垂直于导体表面的静电力。由于接地面是固定的，静电力只使上电极变形。当光束变形时，电荷在导体表面重新分布。静电力的合力和光束的变形也发生了变化。这个过程一直持续到系统达到平衡状态。

耦合机电分析方法

为简单起见，本例使用基于松弛的算法而不是牛顿方法来耦合静电和机械域。该示例遵循以下步骤:

1.解决恒势非变形几何中的静电有限元问题半在可移动电极上。

2.利用沿移动电极的电荷密度计算值，计算力学解的载荷和边界条件。可动电极上的静电压力为

$$P＝\frac{1}{2ϵ}|D{|}^2$$，

在哪里 $$|D|$$是电通量密度的大小和 $$ϵ$$为活动电极附近的介电常数。

3.通过求解机械有限元问题，计算活动电极的变形。

4.通过计算移动电极的位移，更新沿移动电极的电荷密度，

在哪里 $$|D_{def}（x）|$$为变形电极中电通量密度的大小， $$|D_0（x）|$$为未变形电极中电通量密度的大小， $$G$$在没有驱动的情况下，活动电极与固定电极之间的距离，和 $$v（x）$$为移动电极在x位置沿其轴线的位移。

5.重复步骤2-4，直到最后两次迭代的电极变形值收敛。

静电分析

在这个例子的静电分析部分，你计算电极周围的电势。

首先，使用构造实体几何(CSG)建模方法创建悬臂开关几何。静电分析的几何结构由三个用矩阵表示的矩形组成。矩阵的每一列描述一个基本形状。

Rect_domain = [3 4 1.75e-4 1.75e-4 1.75e-4 -1.75e-4．..'; '; ';Rect_movable = [3 4 7.5e-5 7.5e-5 -7.5e-5 .．..';Rect_fixed = [3 4 7.5e-5 7.5e-5 2.5e-5 2.5e-5 - 2.e -6 0 0 - 2.e -6]';gd = [rect_domain、rect_movable rect_fixed];

为每个基本形状创建一个名称。将名称指定为一个矩阵，该矩阵的列包含基本形状矩阵中相应列的名称。

ns = char (“rect_domain”，“rect_movable”，“rect_fixed”）;ns = ns ';

创建一个公式来描述基本形状的联合和交叉。

科幻小说=“rect_domain (rect_movable + rect_fixed)”；

创建几何图形使用decsg函数。

dl = decsg (gd、科幻、ns);

创建一个PDE模型，并在模型中包含几何图形。

模型= createpde;geometryFromEdges(模型、dl);

绘制几何图形。

pdegplot(模型,“EdgeLabels”，“上”，“FaceLabels”，“上”)包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-2e- 4,2e -4，-4e- 5,4e -5])广场

这个几何图形中的边数如下:

设置活动电极的固定电位为20 V，固定电极和域边界的固定电位为0 V。

V0 = 0;V1 = 20;applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”，．..“边缘”,(4、8、9、10)“u”V0);applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”，．..“边缘”,(1、2、5、6),“u”V0);applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”，．..“边缘”,(3、7、11、12),“u”V1);

控制这个问题的偏微分方程是泊松方程，

$$-\nabla \cdot （ϵ\nabla V）＝\rho$$，

在哪里 $ϵ$介电常数和系数是多少 $$\rho$$为电荷密度。在本例中，只要介电常数是常数，介电常数就不会影响结果。假设在域中没有电荷，你可以把泊松方程简化成拉普拉斯方程，

$$\Delta V＝0$$．

指定系数。

specifyCoefficients(模型,“米”，0，' d '，0，“c”，1，“一个”，0，“f”, 0);

生成一个相对精细的网格。

hmax = 5 e-6;generateMesh(模型,“Hmax”, hmax);pdeplot(模型)包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-2e- 4,2e -4，-4e- 5,4e -5])广场

解决模型。

结果= solvepde(模型);

画出外域的电势。

u = results.NodalSolution;图pdeplot(模型,“XYData”,结果。NodalSolution,．..“ColorMap”，“喷气机”）;标题(的电势）;包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-2e- 4,2e -4，-4e- 5,4e -5])广场

粒度分析

在这个例子的力学分析部分，你计算移动电极的变形。

创建一个结构模型。

structuralmodel = createpde (“结构”，“static-planestress”）;

创建可移动电极几何形状，并将其包含在模型中。绘制几何图形。

dl = decsg (rect_movable);geometryFromEdges (structuralmodel dl);pdegplot (structuralmodel“EdgeLabels”，“上”)包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-1e- 4,1e -4，-1e-5, 1e-5])轴广场

指定结构属性:杨氏模量 $$E$$是170 GPa和泊松比 $$\nu$$是0.34。

structuralProperties (structuralmodel“YoungsModulus”170 e9,．..“PoissonsRatio”, 0.34);

将压力指定为边缘上的边界负载。无论表面电荷的符号如何，压力都倾向于将导体引入电场。的定义CalculateElectrostaticPressure功能,请参阅静电压力函数．

pressureFcn = @(location,state) -．..CalculateElectrostaticPressure(结果,[],位置);structuralBoundaryLoad (structuralmodel“边缘”(1、2、4),．..“压力”pressureFcn,．..矢量化的，“上”）;

指定活动电极固定在边缘3。

structuralBC (structuralmodel“边缘”3,“约束”，“固定”）;

生成一个网格。

hmax = 1 e-6;generateMesh (structuralmodel“Hmax”, hmax);pdeplot (structuralmodel);包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-1e- 4,1e -4，-1e-5, 1e-5])轴广场

解的方程。

R =解决(structuralmodel);

画出活动电极的位移。

pdeplot (structuralmodel“XYData”, R。VonMisesStress,．..“变形”, R。Displacement,．..“DeformationScaleFactor”10．..“ColorMap”，“喷气机”）;标题(“偏转电极中的von Mises应力”)包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-1e- 4,1e -4，-1e-5, 1e-5])轴广场

求最大位移。

maxdisp = max (abs (R.Displacement.uy));流(有限元最大尖端挠度为:%12.4e\n'，．..maxdisp);

有限元最大尖端挠度为:1.5630e-07

不断更新移动电极上的电荷密度，求解模型，直到电极变形值收敛。

olddisp = 0;而abs ((maxdisp-olddisp) / maxdisp) > 1平台以及施加边界条件%pressureFcn = @(location,state) -．..CalculateElectrostaticPressure(结果、R、位置);提单= structuralBoundaryLoad (structuralmodel,．..“边缘”(1、2、4),．..“压力”pressureFcn,．..矢量化的，“上”）;解方程R =解决(structuralmodel);olddisp = maxdisp;maxdisp = max (abs (R.Displacement.uy));删除(提单)结束

绘制位移。

pdeplot (structuralmodel“XYData”, R。VonMisesStress,．..“变形”, R。Displacement,．..“DeformationScaleFactor”10．..“ColorMap”，“喷气机”）;标题(“偏转电极中的von Mises应力”)包含(“x坐标,米”) ylabel (“坐标,米”)轴([-1e- 4,1e -4，-1e-5, 1e-5])轴广场

求最大位移。

maxdisp = max (abs (R.Displacement.uy));流(有限元最大尖端挠度为:%12.4e\n', maxdisp);

有限元最大尖端挠度为:1.8162e-07

参考文献

Sumant, p.s.， N. R. Aluru，和A. C. canellaris。“静电驱动MEMS的快速有限元建模方法”。国际工程数值方法杂志。2009年第77卷第13期1789-1808年。

静电压力函数

可动电极上的静电压力为

$$P＝\frac{1}{2ϵ}|D{|}^2$$，

在哪里 $$|D|＝ϵ|E|$$为电通量密度的大小， $$ϵ$$移动电极旁边的介电常数，和 $\left|\mathit{E}\right|$是电场的大小。电场 $\mathit{E}$是电势的梯度吗 $\mathit{V}$：

$\mathit{E}＝-\nabla \mathit{V}$．

采用机械有限元法计算活动电极的变形。利用计算的移动电极的位移，更新沿移动电极的电荷密度。

在哪里 $$|D_{def}（x）|$$为变形电极中电通量密度的大小， $$|D_0（x）|$$为未变形电极中电通量密度的大小， $$G$$在没有驱动的情况下，活动电极与固定电极之间的距离，和 $$v（x）$$移动电极的位移是否在位置x沿其轴。最初，移动电极是不变形的， $$v（x）＝0$$,因此, $\left|{\mathit{D}}_{\mathrm{def}}（\mathit{x}）\right|\approx \left|{\mathit{D}}_0（\mathit{x}）\right|$．

函数ePressure =．..CalculateElectrostaticPressure (elecResults structResults,位置)%计算静电压力。% structuralBoundaryLoad用于指定%活动电极上的压力负载。%的输入:% elecResults:静电有限元分析结果% structreresults: Mechanical FEA results(可选)% location: x,y坐标%在获得压力时％%输出:% e压力:所在位置的静电压力％%的位置。x：The x-coordinate of the points%的位置。y:点的y坐标xq = location.x;yq = location.y;计算电场的大小从电位差。[gradx, grady] = evaluateGradient (elecResults xq, yq);absE =√gradx。^ 2 + grady。^ 2);真空的介电常数为8.854*10^-12法拉/米。epsilon0 = 8.854 e-12;计算电通量密度的大小。absD0 = epsilon0 * absE;absD = absD0;%如果structreresults(变形)是可用的，更新沿可移动电极的电荷密度。如果~ isempty (structResults)%活动电极在x位置的位移xq, intrpDisp = interpolateDisplacement (structResults yq);vdisp = abs (intrpDisp.uy);G = 2 e-6;%间隙2微米absD = absD0。* g / (G-vdisp);结束%计算静电压力。ePressure = absD。^ 2 / (2 * epsilon0);结束