不确定性建模的数据结构

鲁棒控制工具箱允许您创建不确定的元素，例如不确切知道其值的物理参数，并将这些元素组合到不确定模型中。然后，您可以很容易地分析不确定性对控制系统性能的影响。

例如，考虑一个植物模型

在哪里γ可以在区间[3,5]和τ具有平均值0.5和30%的可变性。你可以创建一个P(s)的不确定模型，如下例所示:

=乌拉尔(“伽马”4“范围”[3 - 5]);Tau = ureal(“τ”5,“比例”, 30);P = tf(gamma，[tau 1])

P =具有1输出1输入1状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定度由以下块组成:gamma:不确定实值，标称= 4,range =[3,5]，出现1次tau:不确定实值，标称= 0.5，可变性=[-30,30]%，出现1次键入"P. nominalvalue "查看标称值，"get(P)"查看所有属性，以及"P. uncertainty "与不确定元素交互。

假设你设计了一个积分控制器C对于名义植物(γ= 4,τ= 0.5)。找出变异的γ而且τ影响装置和闭环性能，形成闭环系统中电控股从C而且P．

KI = 1/(2*tau.名义* γ .名义);C = tf(KI，[1 0]);CLP =反馈(P*C,1)

具有1输出1输入2状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定度由以下块组成:gamma:不确定实值，标称= 4，范围=[3,5]，1次出现tau:不确定实值，标称= 0.5，可变性=[-30,30]%，1次出现“CLP”类型。“NominalValue”查看标称值，“get(CLP)”查看所有属性，“CLP. properties”查看所有属性。“不确定性”与不确定性元素相互作用。

绘制装置和闭环系统的阶跃响应图。的一步命令自动生成20个不确定参数的随机样本γ而且τ并画出相应的阶跃响应。

次要情节(2,1,1);步骤(P)、标题(“植物的反应(20个样本)”次要情节(2,1,2);步骤(CLP)、标题(“闭环响应(20个样本)”）

图1:装置的阶跃响应和闭环模型

底部的图显示，闭环系统是合理的鲁棒性，尽管显著波动的工厂直流增益。这是一个设计合理的反馈系统的共同特点。

参数不确定性和未建模的直流电动机实例

本示例建立在前面的示例之上直流电机参数变化的参考跟踪通过添加参数不确定性和未建模动力学，研究了伺服控制器在这种不确定性下的鲁棒性。

直流电动机的标称模型是由电阻定义的R，电感l，电动势常数Kb电枢常数公里，粘滞摩擦的线性近似Kf惯性载荷J．这些组件中的每一个都在特定的值范围内变化。电阻和电感常数在其标称值的±40%范围内。使用尿素的来构造这些不确定参数。

R = ureal(“R”2,“比例”, 40);L = ureal(“L”, 0.5,“比例”, 40);

由于物理原因，的值Kf而且Kb是一样的，即使他们不确定。在本例中，标称值为0.015，范围在0.012到0.019之间。

K = urreal (“K”, 0.015,“范围”[0.012 - 0.019]);Km = K;Kb = K;

粘滞摩擦,Kf，其标称值为0.2，其值有50%的变化。

Kf = ureal(Kf的, 0.2,“比例”, 50);

电学和力学方程

电路中的电流和施加在转子上的转矩可以用施加的电压和角速度来表示。创建传递函数H把这些变量联系起来，使AngularSpeed的输出H供以后使用。

H =[1、0公里]*特遣部队(1 (L R)) * [1 kb] + [0 0; 0 1; 0 kf);H.InputName = {“AppliedVoltage”；“AngularSpeed”};H.OutputName = {“当前”；“AngularSpeed”；“RotorTorque”};

电机通常驱动惯性，惯性的动态特性与施加的转矩与角速度的变化率有关。对于刚体，这个值是一个常数。一个更现实但不确定的模型可能包含未知的阻尼共振。使用ultidyn对象来建模不确定线性时不变动力学。设刚体惯量的标称值为0.02，以乘法形式包含15%的动态不确定性。

J = 0.02*(1 + ultidyn)“Jlti”[1],“类型”，“GainBounded”，“约束”, 0.15,.．.“SampleStateDim”4));

直流电机的不确定模型

这是一件很简单的事AngularSpeed的输入RotorTorque通过不确定惯性的输出，J，使用融通命令。的AngularSpeed输入=RotorTorque / (J * s)．因此，使用从第三个输出到第二个输入的“正”反馈H建立联系。这种连接导致系统只有一个输入(AppliedVoltage)和两个输出(当前的而且AngularSpeed）.

Pall = lft(H,tf(1，[1 0])/J);

只选择AngularSpeed控制分析其余部分的输出。

P = Pall(2，:)

P =具有1输出1输入2状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定度由以下块组成:Jlti:不确定1x1 LTI，峰值增益= 0.15,1次K:不确定实数，标称= 0.015，范围=[0.012,0.019]，2次Kf:不确定实数，标称= 0.2，可变性=[-50,50]%，1次L:不确定实数，标称= 0.5，可变性=[-40,40]%，1次R:输入"P. nominalvalue "查看标称值，"get(P)"查看所有属性，"P. uncertainty "与不确定元素交互。

P为直流电机的单输入、单输出不确定模型。为了进行分析，请使用以下控制器。

Cont = tf(84*[.]233 1],[。0357 1 0];

开环的分析

首先，将公称直流电动机的阶跃响应与15个不确定直流电动机模型样本进行比较。使用usample显式地指定随机样本的数量。

clf step(usample(P,15)，P. nominalvalue,3)“样本”，“名义”）

图2:植物阶跃响应

同样，比较直流电机标称(红色)和抽样(蓝色)不确定模型的波德响应。

波德(usample (P, 15), P.NominalValue);传奇(“样本”，“名义”）

图3:植物波德反应

鲁棒性分析

在本节中，分析直流电机控制器的鲁棒性。对闭环系统的标称分析表明，该反馈回路具有良好的鲁棒性，增益裕度为22 dB，相位裕度为66°。

保证金(P.NominalValue *续)

图4:闭环鲁棒性分析

的diskmargin函数计算基于磁盘的增益和相位裕度。通过在所有频率和所有反馈环中建模增益和相位变化，磁盘裕度往往是更准确的鲁棒性估计，特别是在多环控制系统中。计算直流电机回路的圆盘裕量。

DM = diskmargin(P.NominalValue*Cont)

DM =带有字段的结构:GainMargin: [0.2792 3.5822] phasmargin: [-58.8054 58.8054] DiskMargin: 1.1271 LowerBound: 1.1271 UpperBound: 1.1271 Frequency: 5.0062 worst扰动:[1x1 ss]

虽然比经典的增益和相位裕度小，但基于磁盘的裕度基本上证实了名义反馈循环是非常健壮的。现在，回想一下，直流电动机工厂是不确定的。模型的不确定性如何影响这些稳定裕度?为了快速了解，绘制20个不确定开环响应样本的基于圆盘的增益和相位裕度图。

diskmarginplot (P *续,P.NominalValue *续)传说(“样本”，“名义”）

植物不确定性的某些组合导致利润更小。这幅图只显示了一小部分样本。使用最坏情况分析来找出利润率到底有多糟糕。的wcdiskmargin函数直接计算模型不确定性的最坏情况增益和相位裕量。

wcDM = wcdiskmargin(P*Cont，“输出”）

wcDM =带有字段的结构:GainMargin: [0.8728 1.1457] phasmargin: [-7.7680 7.7680] DiskMargin: 0.1358 LowerBound: 0.1358 UpperBound: 0.1361 CriticalFrequency: 4.9846 worst扰动:[1x1 ss]

mag2db (wcDM.GainMargin)

ans =1×2-1.1812 - 1.1812

在这里，最坏情况的裕度只有1.2 dB和7.8度，这表明闭环对于某些不确定元素的组合几乎是不稳定的。

干扰抑制特性的鲁棒性

灵敏度函数是反馈系统闭环性能的标准度量。计算不确定灵敏度函数年代比较名义和抽样不确定灵敏度函数的波德幅值图。

S =反馈(1,P*Cont);bodemag(年代,S.Nominal)传说(“样本”，“名义”）

图5:灵敏度函数S的大小。

在时域中，灵敏度函数表示对阶跃干扰的排斥程度。绘制其阶跃响应图，以查看扰动抑制特性的可变性(标称显示为红色)。

步骤(年代,S.Nominal)标题(“抗干扰”)传说(“样本”，“名义”）

图6:拒绝阶跃干扰。

使用wcgain函数计算灵敏度函数峰值增益的最差值。

[maxgain,worstuncertainty] = wcgain(S);maxgain

maxgain =带有字段的结构:LowerBound: 7.5196 UpperBound: 7.5354 CriticalFrequency: 4.9973

与usubs函数可以将不确定元素的最坏情况值代入不确定灵敏度函数年代．这给出了最坏情况敏感度函数Sworst在整个不确定范围内。注意的峰值增益Sworst计算的下界wcgain．

Sworst = usubs(S,worstuncertainty);规范(Sworst正)

Ans = 7.5196

maxgain。lowerBound

Ans = 7.5196

现在比较名义灵敏度和最坏情况灵敏度的阶跃响应。

步骤(Sworst S.NominalValue 6);标题(“抗干扰”)传说(“最坏的”，“名义”）

图7:阶跃干扰的名义和最坏情况拒绝

显然，某些不确定元素的组合显著地降低了控制器快速拒绝干扰的能力。最后，绘制灵敏度函数的标称值和最差值的大小。观察的峰值Sworst发生的频率maxgain。CriticalFrequency：

bodemag (Sworst S.NominalValue)传说(“最坏的”，“名义”)举行在semilogx (maxgain.CriticalFrequency, 20 * log10 (maxgain.LowerBound),“g *”）

图8:名义敏感性和最差情况敏感性的大小