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替代ARIMA模型表示

数学的发展regARIMA ARIMAX模型转换

ARIMAX模型和回归模型与ARIMA错误是密切相关的,和使用的选择通常是由你的目标的分析。如果你的目标是符合一个吝啬的模型数据和预测反应,然后是两个模型之间的差异非常小。

如果你更感兴趣的是保留的通常解释的回归系数作为衡量敏感性,即。的影响一个单位一个预测变量的变化反应,然后使用回归模型与ARIMA错误。回归系数在ARIMAX模型不具备这种解释,因为动态响应的依赖[1]。

假设您有一个回归模型的参数估计ARIMA错误,你想看看ARIMAX模型的模型结构进行比较。或者,假设你想让一些洞察潜在的两个模型之间的关系。

ARIMAX模型(t= 1,…,T):

Η ( l ) y t = c + X t β + Ν ( l ) ε t , (1)
在哪里

  • yt是单变量的反应级数。

  • Xt是行t的X,它是连接的矩阵预测系列。也就是说,Xt是观察t每个预测系列。

  • β回归系数。

  • c回归模型拦截。

  • Η ( l ) = ϕ ( l ) ( 1 − l ) D Φ ( l ) ( 1 − l 年代 ) = 1 − η 1 l − η 2 l 2 − … − η P l P , 这是学位P滞后算子多项式捕获的双重影响,季节性和季节性自回归多项式,季节性和季节性集成多项式。符号的更多细节,请参阅乘法ARIMA模型是什么?。

  • Ν ( l ) = θ ( l ) Θ ( l ) = 1 + ν 1 l + ν 2 l 2 + … + ν 问 l 问 , 这是学位问滞后算子多项式的综合效应,抓住季节性和季节性移动平均多项式。

  • εt创新是一个白噪声过程。

回归模型与ARIMA错误(t= 1,…,T)

y t = c + X t β + u t 一个 ( l ) u t = B ( l ) ε t , (2)
在哪里

  • ut是无条件的干扰过程。

  • 一个 ( l ) = ϕ ( l ) ( 1 − l ) D Φ ( l ) ( 1 − l 年代 ) = 1 − 一个 1 l − 一个 2 l 2 − … − 一个 P l P , 这是学位P滞后算子多项式捕获的双重影响,季节性和季节性自回归多项式,季节性和季节性集成多项式。

  • B ( l ) = θ ( l ) Θ ( l ) = 1 + b 1 l + b 2 l 2 + … + b 问 l 问 , 这是学位问滞后算子多项式的综合效应,抓住季节性和季节性移动平均多项式。

中定义的变量的值方程2并不一定等同于变量的值呢方程1,尽管符号可能是相似的。

考虑方程2,回归模型与ARIMA错误。使用以下操作转换回归模型与ARIMA模型相应的ARIMAX错误。

  1. 解出ut。

    y t = c + X t β + u t u t = B ( l ) 一个 ( l ) ε t 。

  2. 替代ut进入回归方程。

    y t = c + X t β + B ( l ) 一个 ( l ) ε t 一个 ( l ) y t = 一个 ( l ) c + 一个 ( l ) X t β + B ( l ) ε t 。

  3. 解出yt。

    y t = 一个 ( l ) c + 一个 ( l ) X t β + ∑ k = 1 P 一个 k y t − k + B ( l ) ε t = 一个 ( l ) c + Z t Γ + ∑ k = 1 P 一个 k y t − k + B ( l ) ε t 。 (3)
    在方程3,

    • 一个(l)c= (1 -一个1- - - - - -一个2-……一个P)c。即ARIMAX模型中的常数是拦截的回归模型与ARIMA与非线性约束错误。尽管应用程序,例如模拟处理这种约束,估计不能把这样的约束。在后一种情况下,这些模型是等价的,当你解决拦截和常数为0。

    • 在这个术语一个(l)Xtβ,滞后算子多项式一个(l)过滤器T1的向量Xtβ,这是由回归的线性组合预测加权系数。这个过滤过程需要Ppresample观测预测系列。

    • 华宇电脑构造矩阵Zt如下:

      • 每一列的Zt对应于每一项一个(l)。

      • 第一列的Zt是向量Xtβ。

      • 第二列的Zt是一个序列d2南s (d2第二项的程度吗一个(l),其次是产品 l d j X t β 。也就是说,软件高度d2南年代初的T1列,高度Xtβ后南结束的年代,但这样的产品d2观察。

      • 的jth列Zt是一个序列dj南s (dj的程度是j届任期一个(l),其次是产品 l d j X t β 。也就是说,软件高度dj南年代初的T1列,高度Xtβ后南结束的年代,但这样的产品dj观察。

      。

    • Γ= [1——一个1——一个2…——一个P)”。

      的华宇电脑转换器会删除所有新鲜感自回归系数的差分方程。随后,华宇电脑转换器不副新鲜感与列自回归系数Zt,也不包括相应,新鲜感系数Γ。

  4. 重写方程3,

    y t = ( 1 − ∑ k = 1 P 一个 k ) c + X t β − ∑ k = 1 P 一个 k X t − k β + ∑ k = 1 P 一个 k y t − k + ε t + ∑ k = 1 问 ε t − k 。

例如,考虑下面的回归模型的错误是ARMA (2, 1):

y t = 0.2 + 0.5 X t + u t ( 1 − 0.8 l + 0.4 l 2 ) u t = ( 1 + 0.3 l ) ε t 。 (4)
等效ARMAX模型是:

y t = 0.12 + ( 0.5 − 0.4 l + 0.2 l 2 ) X t + 0.8 y t − 1 − 0.4 y t − 2 + ( 1 + 0.3 l ) ε t = 0.12 + Z t Γ + 0.8 y t − 1 − 0.4 y t − 2 + ( 1 + 0.3 l ) ε t ,

或

( 1 − 0.8 l + 0.4 l 2 ) y t = 0.12 + Z t Γ + ( 1 + 0.3 l ) ε t ,

在哪里Γ-0.8 - 0.4 = [1]

Z t = 0.5 ( x 1 N 一个 N N 一个 N x 2 x 1 N 一个 N x 3 x 2 x 1 ⋮ ⋮ ⋮ x T x T − 1 x T − 2 ] 。

这个模型不是集成因为与AR多项式相关联的特征值都是在单位圆内,但预测可能影响稳定的过程。同时,你需要presample回到至少2周期预测数据,例如,数据模型。

在MATLAB®显示转换

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说明了在MATLAB®转换模型仿真和评估。

指定的回归模型与ARIMA错误方程4。

MdlregARIMA0 = regARIMA (“拦截”,0.2,基于“增大化现实”技术的{0.8 - -0.4},…“马”,0.3,“β”(0.3 - -0.2),“方差”,0.2);

生成presample观察和预测数据。

rng (1);%的再现性T = 100;maxPQ = max (MdlregARIMA0.P MdlregARIMA0.Q);numObs = T + maxPQ;presample占%调整数量的观察XregARIMA = randn (numObs 2);%模拟预测数据情况= randn (maxPQ, 1);% Presample无条件干扰u (t)e0 = randn (maxPQ, 1);% Presample创新e (t)

模拟的数据回归模型与ARIMA错误MdlregARIMA0。

rng (100)%为一致的种子与后来的电话(y1, e1, u1) =模拟(MdlregARIMA0 T“情况”情况,…“E0”下,,“X”,XregARIMA);

回归模型与ARIMA错误转换成一个ARIMAX模型。

[MdlARIMAX0, XARIMAX] = arima (MdlregARIMA0,“X”,XregARIMA);MdlARIMAX0
MdlARIMAX0 = arima与属性:描述:“ARIMAX(2 0 1)模型(高斯分布)”D是tribution: Name = "Gaussian" P: 2 D: 0 Q: 1 Constant: 0.12 AR: {0.8 -0.4} at lags [1 2] SAR: {} MA: {0.3} at lag [1] SMA: {} Seasonality: 0 Beta: [1 -0.8 0.4] Variance: 0.2

生成ARIMAX presample响应模型与回归模型与ARIMA确保一致性错误。从ARIMAX模型模拟数据。

y0 = MdlregARIMA0。在tercept + XregARIMA(1:maxPQ,:)*MdlregARIMA0.Beta' + u0; rng(100)%为一致的种子与早期的电话y2 =模拟(MdlARIMAX0 T“Y0”,y0,“E0”下,,“X”,XARIMAX);图绘制(日元“线宽”,3)在情节(y2,“:”,“线宽”,2.5)从标题(“\高炉模拟路径”)传说(“regARIMA模式”,“ARIMAX模式”,“位置”,“最佳”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题方程模拟路径包含2线类型的对象。这些对象代表regARIMA模型、ARIMAX模型。

都是平等的,因为模拟路径华宇电脑转换器执行时的非线性约束转换回归模型拦截ARIMAX模型常数。

适合一个回归模型与ARIMA模拟数据错误。

MdlregARIMA0 = regARIMA (“ARLags”(1 - 2),“MALags”1);EstMdlregARIMA =估计(MdlregARIMA0, y1,“E0”下,,“情况”情况,“X”,XregARIMA);
回归与ARMA(2, 1)误差模型(高斯分布):价值StandardError TStatistic PValue ________ _________________ __________ __________拦截AR {1} 0.83061 - 0.1375 0.14074 - 0.1014 1.3879 - 0.16518 6.0407 - 1.5349 e-09 AR{2} -0.45402 0.1164 -3.9007 9.5927马e-05{1} 0.42803 0.15145 2.8262 0.0047109β(1)0.29552 0.022938 12.883 5.597 38吗β(2)e-09方差8.8941 -0.17601 0.030607 -5.7506 0.18231 0.027765 6.5663 5.1569 e-11

适合一个ARIMAX模型来模拟数据。

MdlARIMAX = arima (“ARLags”(1 - 2),“MALags”1);EstMdlARIMAX =估计(MdlARIMAX y2,“E0”下,,“Y0”,…y0,“X”,XARIMAX);
ARIMAX(0,1)模型(高斯分布):价值StandardError TStatistic PValue ________ _________________ __________ __________常数AR {1} 0.83136 - 0.13634 0.084996 - 0.064217 1.3236 - 0.18564 6.0975 - 1.0775 e-09 AR {2} -0.45599 0.11788 -3.8683 0.0001096 MA{1} 0.426 0.15753 2.7043 0.0068446β(1)1.053 0.13685 7.6949 1.4166 e-14β(2)-0.6904 0.19262 -3.5843 0.00033796 Beta(3)方差0.45399 0.15352 2.9572 0.0031047 0.18112 0.028836 6.281 3.3635平台以及

转换估计回归模型与ARIMA错误EstMdlregARIMA为ARIMAX模式。

ConvertedMdlARIMAX = arima (EstMdlregARIMA,“X”XregARIMA)
ConvertedMdlARIMAX = arima与属性:描述:“ARIMAX(2 0 1)模型(高斯分布)”D是tribution: Name = "Gaussian" P: 2 D: 0 Q: 1 Constant: 0.087737 AR: {0.830611 -0.454025} at lags [1 2] SAR: {} MA: {0.428031} at lag [1] SMA: {} Seasonality: 0 Beta: [1 -0.830611 0.454025] Variance: 0.182313

估计ARIMAX模型常数不等于ARIMAX模型常数转换回归模型与ARIMA的错误。换句话说,EstMdlARIMAX.Constant是0.084996和ConvertedMdlARIMAX.Constant=0.087737。差异的原因估计不执行的非线性约束华宇电脑转换器执行。结果,其他的估计接近,但不是平等的。

引用

[1]Hyndman, r . j .(2010年10月)。“ARIMAX模式混乱。”罗伯·j·Hyndman。检索2017年5月4日https://robjhyndman.com/hyndsight/arimax/。

另请参阅

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