主要内容

匹配追踪算法

冗余字典和稀疏

代表一个信号在一个特定的基础是在此基础上找到独特的膨胀系数。虽然有很多优势信号表示在一个基础上,尤其是一个正交基,也有缺点。

基础上提供一个稀疏表示的能力取决于信号特征匹配的特征基向量。例如,光滑连续信号稀疏表示在傅里叶,而冲动是没有。与孤立的不连续平稳信号是稀疏表示在小波的基础上。然而,小波的基础上不是有效地代表一个信号的傅里叶变换有狭窄的高频率的支持。金宝app

真实世界的信号通常包含功能禁止稀疏表示在任何单一的基础。对于这些信号,您希望能够从一组选择向量不仅限于一个基础。因为你想要确保你能代表每个向量空间,字典向量的选择必须跨越空间。然而,因为不仅限于一个集基础上,字典不是线性无关。

由于向量在字典里不是一个线性无关组,信号表示在字典里并不是唯一的。然而,通过创建一个冗余字典,你可以扩大你的信号在一组向量,适应你的信号的时频或时间尺度特征。你可以创建一个字典包含几个联盟的基地。例如,你可以形成一个基础空间精确性函数组成的小波包和局部余弦基础基础。小波包的基础上适应信号与不同的行为在不同的频率间隔。局部余弦基适应信号与不同的行为在不同的时间间隔。从这些基地选择向量的能力大大增加你稀疏表示信号,根据不同的特征的能力。

非线性逼近的字典

定义一个字典作为一个集合unit-norm基本信号空间的构建块。这些被称为unit-norm向量原子。如果字典的原子横跨整个信号空间,字典完整的。

如果字典原子形成一组线性相关,字典冗余。在大多数应用程序匹配的追求,字典是完整的和冗余的。

让{φk}表示字典的原子。假设字典完成和冗余。没有独特的方式来表示一个信号从空间作为一个原子的线性组合。

x = ∑ k α k ϕ k

一个重要的问题是是否存在最好的的方式。一个直观的选择令人满意的方式最好的表示选择φk产生最大的内积(绝对值)的信号。下载188bet金宝搏例如,最好的单一φk是

马克斯 k | < x , ϕ k > |

这unit-norm原子是标量的大小由φ张成的子空间的投影吗k。

的核心问题匹配的追求你是如何选择最优米术语的扩张你的信号在一个字典。

基本匹配的追求

让Φ表示字典的原子N×M矩阵M > N。如果完成,冗余字典形式信号空间的框架,您可以获得最小的L2范数膨胀系数向量进行帧操作。

Φ __ = Φ * ( Φ Φ * ) − 1

然而,返回的系数向量框架算子不保持稀疏。如果信号是稀疏字典,膨胀系数与规范框架算子获得一般不反映,稀疏。你的信号的稀疏字典是一个特征,您通常想要将它保存下来。地址匹配追求稀疏直接保存。

匹配的追求是一种贪婪算法,计算最佳非线性近似信号在一个完整的、冗余的字典。匹配追求构建一系列稀疏信号分段近似。让Φ={φk}表示一个字典的unit-norm原子。让f是你的信号。

  1. 首先定义R0f=f

  2. 开始追求通过选择匹配的原子字典最大化内积的绝对值R0f=f。原子由φ表示p。

  3. 形成了残余R1f减去的正交投影R0f由φ张成的空间p。

    R 1 f = R 0 f − 〈 R 0 f , ϕ p 〉 ϕ p

  4. 迭代重复步骤2和3的残余。

    R 米 + 1 f = R 米 f − 〈 R 米 f , ϕ k 〉 ϕ k

  5. 停止该算法当你到达一些指定的停止准则。

    6. 在非正交的(或基础)匹配的追求,字典原子并不是相互正交的向量。因此,随后的残差减去上一个可以引入组件不正交之前包括原子张成的空间。

    为了说明这一点,考虑下面的例子。这个例子并不打算现在工作匹配追踪算法。

    考虑下面的欧几里得2-space字典。这本字典是一个equal-norm框架。

    { ( 1 0 ) , ( 1 / 2 3 / 2 ) , ( − 1 / 2 − 1 / 2 ) }

    假设您有以下信号。

    ( 1 1 / 2 )

    下面的图展示了这个例子。字典原子是红色的。信号向量是蓝色的。

    这本字典构造并在MATLAB信号®。

    字典= [1 0;1/2倍根号(3)/ 2;1 /√(2)1 /√(2)];x = [1 1/2] ';

    计算之间的内部(标量)产品信号和字典原子。下载188bet金宝搏

    scalar下载188bet金宝搏products =字典' * x;

    绝对值最大的标量积发生之间的信号(1 /√(2);1 /√(2))。这是明确的,因为这两个向量的夹角几乎是π弧度。

    形成的残余减去的正交投影到信号(1 /√(2);1 /√(2))从信号。接下来,计算剩余的内积(新信号)剩下的字典原子。下载188bet金宝搏没有必要包括(1 /√(2);1 /√(2))因为剩余正交向量的建设。

    剩余= x-scalarproduct下载188bet金宝搏s(3) *词典(:,3);scalar下载188bet金宝搏products =字典(:1:2)*残余;

    得到绝对值最大的标量积(1,0)。最好的两个原子字典从两个迭代(1 /√(2);1 /√(2))和(1,0)。如果迭代剩余,你看到输出不再是第一个原子选择正交。换句话说,该算法引入了一个组件,它不是第一个原子张成的空间正交选中。这一事实和相关的并发症与融合表示赞成正交匹配追踪(OMP)。

    正交匹配追踪

    在正交匹配追踪(OMP),剩余总是正交于原子张成的空间已经选中。这导致融合为一个d维向量后最多d步骤。

    从概念上讲,这可以通过使用gram - schmidt创建一组正交的原子。与一组正交的原子,你会看到d维向量,你可以找到d正交的方向。

    OMP算法是:

    1. 表示你的信号f。初始化剩余R0f=f。

    2. 选择最大化的原子内积的绝对值R0f=f。原子由φ表示p。

    3. 形成一个矩阵,Φ,与之前选择原子作为列。定义张成的空间上的正交投影算符的列Φ。

      P = Φ ( Φ * Φ ) − 1 Φ *

    4. 应用正交投影算子的残余。

    5. 更新剩余。

      R 米 + 1 f = ( 我 − P ) R 米 f

      我是单位矩阵。

      正交匹配追踪确保组件在之前选定原子并不在后续步骤中引入的。

      弱正交匹配追踪

      它可以计算有效放松标准,选定的原子最大化内积的绝对值没有那么严格。

      | 〈 x , ϕ p 〉 | ≥ α 马克斯 k | 〈 x , ϕ k 〉 | , α ∈ ( 0 , 1 ]

      这就是所谓的弱匹配的追求。