解决硬晶体管微分代数方程

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这个例子展示了如何使用ode23t解决一个僵硬的微分代数方程(DAE)描述了一种电路[1]。有关晶体管放大器的问题示例文件的编码amp1dae.m可以在半显式重写形式,但这个例子解决了原来的形式 $米 u^{'} = ϕ (u)$ 。这一问题包括一个常数,单一的质量矩阵 $米$ 。

晶体管放大器电路包含六个电阻,三个电容器,晶体管。

初始电压信号 $U_{e} (t) = 0 。 4 罪 (200 π t)$ 。
操作电压 $U_{b} = 6$ 。
的节点的电压 $U_{我} (t) (我 = 1, 2, 3, 4, 5)$ 。
电阻的值 $R_{我} (我 = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 是常数,每个电阻电流满足吗 $我 = U / R$ 。
电容的值 $C_{我} (我 = 1, 2, 3)$ 是常数,当前通过每个电容器满足 $我 = C \cdot 杜 / dt$ 。

我们的目标是通过节点5,解决输出电压的 $U_{5} (t)$ 。

在MATLAB®解这个方程,方程需要代码,代码质量矩阵,设置初始条件和时间间隔的集成在调用解算器之前ode23t。你可以包括所需的函数作为本地功能的文件(如在这里完成),或者拯救他们作为独立,在MATLAB上的一个目录路径命名文件。

代码质量矩阵

利用基尔霍夫定律来平衡目前通过每个节点(1至5),你可以获得一个五方程组描述电路:

$\begin{array}{l} 节点 1 : \frac{U_{e} (t)}{R_{0}} - - - - - - \frac{U_{1}}{R_{0}} + C_{1} ({U_{2}}^{'} - - - - - - {U_{1}}^{'}) = 0, \\ 节点 2 : \frac{U_{b}}{R_{2}} - - - - - - U_{2} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}) + C_{1} ({U_{1}}^{'} - - - - - - {U_{2}}^{'}) - - - - - - 0 。 01 f (U_{2} - - - - - - U_{3}) = 0, \\ 节点 3 : f (U_{2} - - - - - - U_{3}) - - - - - - \frac{U_{3}}{R_{3}} - - - - - - C_{2} {U_{3}}^{'} = 0, \\ 节点 4 : \frac{U_{b}}{R_{4}} - - - - - - \frac{U_{4}}{R_{4}} + C_{3} ({U_{5}}^{'} - - - - - - {U_{4}}^{'}) - - - - - - 0 。 99年 f (U_{2} - - - - - - U_{3}) = 0, \\ 节点 5 : - - - - - - \frac{U_{5}}{R_{5}} + C_{3} ({U_{4}}^{'} - - - - - - {U_{5}}^{'}) = 0 。 \end{array}$

该系统的质量矩阵,发现通过收集导数项左边的方程,形式

$米 = (\begin{array}{ccccc} - - - - - - c_{1} & c_{1} & 0 & 0 & 0 \\ c_{1} & - - - - - - c_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - - - - - - c_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - - - - - - c_{3} & c_{3} \\ 0 & 0 & 0 & c_{3} & - - - - - - c_{3} \end{array}),$

在哪里 $c_{k} = k \times 1 0^{- - - - - - 6}$ 为 $k = 1, 2, 3$ 。

创建一个质量矩阵与适当的常数 $c_{k}$ ,然后使用odeset函数来指定质量矩阵。尽管很明显,质量矩阵是奇异的,离开“MassSingular”选项的默认值“也许”测试DAE的自动检测问题的解决者。

c = 1 e-6 * (1:3);M = 0 (5,5);米(1,1)= - c (1);(1、2)= c (1);米(2,1)= c (1);米(2,2)= - c (1);(3)= - c (2);米(4,4)= - c (3);(4、5)= c (3);5米(4)= c (3); M(5,5) = -c(3); opts = odeset(“质量”,M);

代码方程

这个函数transampdae对于这个例子包含方程组。函数定义了所有的电压和恒定参数的值。衍生品聚集在左边的方程是质量矩阵编码,和transampdae代码的右边方程。

函数dudt = transampdae (t, u)%定义电压和参数问题= @ (t) 0.4 * sin(200 *π* t);乌兰巴托= 6;R0 = 1000;R15 = 9000;α= 0.99;β= 1 e-6;佛罗里达大学= 0.026;%定义方程组f23 =β* (exp ((u (2) - (3)) / Uf) - 1);dudt =[(问题(t) - u (1)) / R0 -(乌兰巴托/ R15 - u (2) * 2 / R15 f23(1α)*)- (f23 - u (3) / R15) -((乌兰巴托- u (4)) / R15 -αf23 *) (u (5) / R15)];结束

注意:这个函数是作为一个本地函数的例子。

代码的初始条件

设置初始条件。下面的例子使用了一致的初始条件为当前通过每个节点计算[1]。

乌兰巴托= 6;情况(1)= 0;情况(2)=乌兰巴托/ 2;情况(3)=乌兰巴托/ 2;情况(4)=乌兰巴托;情况(5)= 0;

解方程组

解决DAE系统时间间隔0.05 [0]使用ode23t。

tspan = 0.05 [0];[t u] = ode23t (@transampdae, tspan情况,选择);

阴谋的结果

情节的初始电压 $U_{e} (t)$ 和输出电压 $U_{5} (t)$ 。

问题= @ (t) 0.4 * sin(200 *π* t);情节(t)问题(t)“o”t u (:, 5),“。”轴([0 0.05 3 2]);传奇(的输入电压U_e (t)”,的输出电压U_5 (t)”,“位置”,“西北”);标题(“一个晶体管放大器DAE ODE23T问题解决”);包含(“t”);

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题一个晶体管放大器DAE问题解决ODE23T包含2线类型的对象。这些对象代表输入电压U_e (t)输出电压U_5 (t)。

引用

[1]头发,E。,and Gerhard Wanner.解常微分方程2:僵硬和微分代数问题。激飞柏林海德堡,1991,第377页。

本地函数

这里列出的是当地的辅助函数,ODE求解器进行求解ode23t调用计算解决方案。或者,您可以保存这个函数作为其自己的文件在MATLAB上的一个目录路径。

函数dudt = transampdae (t, u)%定义电压和参数问题= @ (t) 0.4 * sin(200 *π* t);乌兰巴托= 6;R0 = 1000;R15 = 9000;α= 0.99;β= 1 e-6;佛罗里达大学= 0.026;%定义方程组f23 =β* (exp ((u (2) - (3)) / Uf) - 1);dudt =[(问题(t) - u (1)) / R0 -(乌兰巴托/ R15 - u (2) * 2 / R15 f23(1α)*)- (f23 - u (3) / R15) -((乌兰巴托- u (4)) / R15 -αf23 *) (u (5) / R15)];结束

另请参阅

ode23t|ode15s