从系列中:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
线性方程包括dy / dt=y, dy / dt= -y, dy / dt=2泰.这个方程dy / dt=y*y是非线性的。
好的。第一个视频的目的是告诉你们接下来要讲什么,给出一个关于常微分方程的合理学习的大纲。这个系列的很大一部分是关于一阶方程和二阶方程的视频。这些是在应用程序中最常见的。如果你幸运的话,这些问题是你能够理解和解决的。
一阶方程意味着方程中要有一阶导数。这是一个很好的方程,我们会花很多时间来解。导数是,这是y的变化率,未知y的变化,随着时间推移部分取决于解本身。这就是微分方程的思想,它把变化量和函数y联系起来。
然后你有q (t)的输入,它产生它们自己的变化。他们会进入系统。它们成为y的一部分,它们增长,衰减,振荡,随y (t)的变化。这是一个线性方程,右边有一个输入,一个强制项。
这是一个非线性方程。y的导数,斜率取决于y,这是一个微分方程。但是f (y)可以是y²/ y³或者siny或者y的指数,所以它不是线性的。线性意味着我们看到y单独。这里我们不会。我们很快就能得到解了,因为这是一个一阶方程。对于最一般的一阶方程,函数依赖于t和y,输入会随时间变化。这里,输入只取决于y的当前值。
我可以把y想象成银行里的钱,增长,衰减,振荡。或者我可以把y看成弹簧上的距离。很多申请都来了。
好的。这些都是一阶方程。二阶有二阶导数。二阶导数是加速度。它告诉你曲线的弯曲程度。
如果我有一个图像,已知的一阶导数就能得到图像的斜率。它在上升吗?它在下降吗?它是最大值吗?
二阶导数告诉你图形的弯曲程度。它如何偏离直线。这就是加速度。所以牛顿定律——我们都遵循的物理定律——加速度是某种力。有一个力,线性地依赖于,这是一个关键词,依赖于y,就是y的一次方。
这是一个更一般的方程。在牛顿定律中,加速度乘以质量。这包括一个物理常数,质量。
然后就会有一些阻尼。如果有运动,可能会有摩擦使它减速。这取决于速度的一阶导数。
然后可能有同样的附加项依赖于y本身。可能有一些外力,一些人或机器在创造运动。一个外力项。
这是一个很大的方程。在这一点上,我们让它是非线性的。我们有很好的机会。如果我们让这些是非线性的,二阶的可能性就降低了。越深入,我们就越需要线性,甚至是常系数。m b和k,这就是我们能解决的问题,因为我们已经很擅长了这是一个常系数的二阶线性方程。但这已经很大程度上推动了我们希望明确做的事情并真正理解解,因为它是常系数线性的。再说一遍。这是很好的方程。
我认为解决方法有两种。金宝搏官方网站如果我有一个很好的函数,比如指数函数。指数函数是微分方程的重要函数,是这个级数中的重要函数。你会一遍又一遍地看到。指数。f (t)等于e的t次方,或者e的t次方,或者e的i t次方,i等于根号下- 1。
在这些情况下,我们会得到一个类似的很好的解函数。那些是最好的。我们得到一个已知的指数函数。我们得到了已知的解。金宝搏官方网站
第二种方法是得到一个我们不太知道的函数。在这种情况下,解可能涉及到一个f的积分,或者两个f的积分,我们有一个公式。这个公式包含了一个积分,我们可以查一下,也可以算一下。
然后当我们得到完全非线性的函数,或者我们有不同的系数,然后我们要用数值的方法。所以,这门课的大部分内容最终都是数值解。金宝搏官方网站接下来的视频中有很多很好的函数和解。金宝搏官方网站
好的。这是一阶和二阶。现在还有更多,因为一个系统通常不只是由一个电阻或一个弹簧组成。实际上,我们有很多方程。我们需要处理这些问题。
所以y现在是一个向量。Y1 y2到yn。N个不同的未知数。N个不同的方程。这是n个方程。这是一个n × n矩阵。所以这是一级反应。常系数。所以我们可以得到某个结果。但它是n个耦合方程组。
这个带二阶导数的也是。解的二阶导数。还是从y1到yn。我们有一个矩阵,通常是一个对称矩阵,我们希望,乘以y。
还是线性的。常系数。但同时有几个方程。这就引入了特征值和特征向量的概念。特征值和特征向量是线性代数的一个关键部分它使这些问题变得简单,因为它把这个耦合问题变成了n个非耦合问题。我们可以分别解N个一阶方程。或者n个可以单独求解的二阶方程。这就是矩阵的目标是解耦它们。
好的。这门课最大的现实是解可以用数值的方式找到而且非常有效。金宝搏官方网站这方面有很多东西要学,很多东西要学。MATLAB是一个一流的软件包,它为你提供了多种选择的数值解。金宝搏官方网站
其中一个选项可能是最受欢迎的。常微分方程的ODE。这是4 5题。Cleve Moler,编写MATLAB程序包的人,将创建一系列并行视频来解释数值求解的步骤。
这些步骤从一个非常简单的方法开始。也许我该把创造者的名字写下来。欧拉。因为欧拉是几个世纪前的人,他没有电脑。但他有一个简单的近似方法。欧拉可以是ODE 1。现在我们把欧拉抛在脑后了。欧拉很好,但不够准确。
ODE 45, 4和5表示更高的精度,更大的灵活性。所以从欧拉开始,Cleve Moler将解释几个步骤,达到一个真正的主力包。
这是一个平行级数,你会看到代码。这将是一个粉笔黑板系列,我将找到指数形式的解。金宝搏官方网站如果可以的话,我想用偏微分方程来结束这个级数。
我在这里写一些偏微分方程,这样你们就知道它们是什么意思了。这是我希望达到的一个目标。
一个偏微分方程是du / dt,偏导数是二阶导数。现在有两个变量了。时间,我一直都有。这是空间方向上的x。这叫做热方程。这是一个非常重要的常系数偏微分方程。
PDE不同于ODE。我再写一个。u的二阶导数和右边x方向的二阶导数是一样的。这就叫做波动方程。
这就像是一阶时间方程。这就像一个大系统。事实上,它就像一个无限大的方程组。时间的一阶。或者说时间是二阶的。热方程。波动方程。
我还想加入一个拉普拉斯方程。好吧,如果我们能做到的话。以上就是本系列课程的最终目标超出了ode的一些课程。但是这里的主要目标是给你们一个标准的,清晰的图像关于基本的微分方程我们可以解和理解。
嗯,我希望一切顺利。谢谢。
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