从系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
可分离方程可以通过两个单独的积分来求解,一个在T.另一个y。最简单的是dy / dt = y, 什么时候dy / y=DT.。然后ln(y)=T + C.。
好的。今天讲可分离方程。原则上,这些是最容易解决的。它们包括非线性方程,但它们有一个特殊的特性,使它们变得简单,易于接近。这个特殊的特征是方程的右边分离成一个t的函数除以或者乘以一个y的函数。
T和Y在右侧分开。例如,Dy / DT等于Y加T不会是可分离的。他们非常简单但不可分居。可分离的意味着我们可以单独保留这两个,并进行F的积分以及我们的积分,我们正在商业。
好的。例子。假设y的f是1.然后我们具有所有最简单的微分方程,dy / dt是t的一些功能。这就是微积分的影响。y是g的积分。
假设没有t。只有y的一个超过f,g的g等于一个。然后我把你的f of。我整合了[吗?F?迪。
把dt移到这里,就是对dt积分。所以右边就是t,左边是我们要做的积分。这是解微分方程所做的最小功。
但点是,与y和t分开,我们只是融合了。在这里存在y的g和y的f时是这样的。然后让我强调在这里发生的事情。
f (y)向上移动dy dt向上移动g (t) dt。所以I g (t) dt = f (y) dy两边都积分。
左边是y关于y的积分右边是t或者哑变量s的积分,从0到t的积分,这个从y(0)到y (t)的积分。
这是要做的两个积分。你们会得到可分离方程的例子。你要做的是两个积分。
然后,最后有一个小抓住。当我集成时,这是y的一些功能。但我通常希望将解决方案与差别等式相等。
你会在这个例子中看到。我必须为你解开它,因为这不会给我一个y。它会给我一些涉及y的表达。
让我做例子。让我做例子。你明白为什么它是正确的。好的。所以这是例子。
所以让我拿走,等式Dy / DT等于y。明确可分离。函数的f。g of t只是t。y的f只是y。我将那些与y dy相结合等于t dt。
你看到我挑选了一个非常简单的例子。现在我将两侧从左边的y集成到y的y。右边的0到t。
当然,这是1/2 T平方。左手侧是这两个限制之间的1/2 y平方。所以我得到的是1/2 y平方。
所以上面我有1/2 y的t平方减去,在底端,0个平方0平等的0个平方1/2 t平方。
我们得到一个关于y的函数等于一个关于t的函数,方程就解出来了。
微分方程就解出来了。但是我没有找到y (t)等于什么的形式。但我可以做到。我把这个移到另一边。所以它会带一个正号到另一边。
然后把1/2消掉。然后取平方根。解y (t)等于根号下y(0)²+ t²。
这是微分方程的解决方案。也许我对这个方程进行了一小篇评论。因为开始寻找危险点是必不可少的。事情不是正确的奇异点。
这里危险点显然y等于零。如果我从y开始0等于零,那么我不确定。如果我从y开始0等于0,那么该等式的解决方案是什么?
我从0到0开始。从一个0到0开始,开始你的生活是什么方式。这吧,实际上解决方案仍然是正确的。如果y为0,我会得到平方的平方根。我会得到它。
所以y(0) = 0允许解y = t,这是一个解。如果y = t,那么dy/dt = 1。右边t除以y等于t除以t等于1。方程解出来了。但我想说的是,当y(0) = 0时,有些东西会有点奇怪。奇怪的是,还有其他的解决方案。金宝搏官方网站
我喜欢,我认为,y等负t。可能更多。但是,如果Y等于负T,则其衍生物是减去1.并且在右侧,我再次具有负1负1。方程解出来了。这是一个完全良好的解决方案。这是第二种解决方案。这是一个有一个以上解决方案的等式。我们必须思考,我们什么时候可以保证只有一个解决方案,当然是我们想要的。
好的。我最好再举一个例子。也许logistic方程很好。这是可分的。这有点难。我来做这个。
dy / dt是y减去y平方,让我们说。物流方程。线性术语减去二次术语。
这是可分离的,因为G部分是1. y的f?记住y的f--我想把它放在y侧。但它会在分母中出现。所以我在y y y y y y y平等的等级dt。我必须整合双方来获得解决方案y。
现在,整合右侧当然是野餐。我得到了。但是整合左手边,我必须知道如何,或查找,或者弄清楚1 over y减去y平方的整体。
让我对积分做一点评论,因为例子中经常会有这个问题。当分母上有一个多项式一个二次多项式时进行积分。有很多不同的方法。我们真正看到这类问题的时候是在讨论拉普拉斯变换的时候。
所以我将在此之前保存方法的细节。但让我给出该方法的名称。这个名称是部分分数,这是一种集成方法。部分分数。
我在这里只说它的意思。这意味着我想把1 / (y - y²)写得更好。什么除以y - y²可以分解成两个分数?这些是部分分式。
一个分式是,我要把y - y的平方分解成y和1 - y部分分式是某一个数除以y另一个数除以1 - y。
这只是代数运算。部分分式就是代数。这不是微积分。我把y - y²分解成这两项。如果有一个公分母,如果我把这两个分数放在一起,那么分母就是这个。分子,如果我选对了a和b,就是1。
对这个积分,我可以分别对a / y和b / (1 - y)积分,这很简单。部分分式,在你努力求分数之后,你就可以做单独的积分了。这个积分就是a乘以logy,这可能是b乘以,可能是- b乘以log1 - y。
所以我们已经集成了。请记住。具有这种特定方程,逻辑方程,我们不必使用部分分数。我们本可以做到 - 我们刚刚看到了如何思考它作为可分离方程式。
但这种物流方程具有非常简洁的方法。更快,更好。我们刚刚引入z等于y。我们看过y的未知1,称为z,发现了z的等式,它是线性的。
我们可以写下它的解决方案。所以,当我们能够做到这一点时。但如果我们没有看到如何做到这一点,部分分数是系统的方式。一个分数,另一个部分。整合这些分数。把答案放在一起。然后,然后,在最后,这是一些积分,具体取决于y等于t。
为了完美地完成这个问题,我必须用T的函数来解决y。这就是通过y y y y y bz来如此美妙地出现。我们为z进行了一个简单的公式,然后我们有y的公式。这将很容易地整合。但随后我们必须解决的是找到y的公式。
好的。这是一个更严肃的例子。这个例子非常简单。你可以做其他关于可分离变量方程的例子。Y和t分别积分。好。谢谢你!
您还可以从以下列表中选择一个网站:
选择中国网站(以中文或英文)以获取最佳网站性能。其他MathWorks国家网站未优化您的位置。