来自系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
迫使F= cos(ωT.),特定的解决方案是y* cos(ωT.)。但如果强制频率等于自然频率存在共振。
这是第二阶微分方程上的第二个视频,恒定系数,但现在我们有右侧。而第一个是自由谐波运动,零,但现在我正在进行这项运动,我正在推动这种运动,但在欧米茄的频率上。这是我的迫使期限。
所以我认为我有一个强迫频率,欧米茄,并记住这一个,对于没有解决方案,有一个自然频率ωn。那些关闭是非常重要的,那些分开很好吗?控制桥的桥梁是否过于振荡,最终落下。
或者在极端情况下,它们是平等的吗?如果Omega n等于被称为共振的欧米茄。让我把那个词放进去。共鸣。当欧米茄等于omega n时。我们今天不应该处理,但你应该知道,始终是欧米茄减去omega n划分。因此,如果这是0,如果Omega等于Omega N,我们的公式必须改变。
今天,这不会发生。不,那么配方是什么?什么是yp?我正在寻找特定的解决方案。这是一个很好的功能,在实践中也很重要。所以我想希望特定的解决方案可能是那个余弦欧米茄t的一些倍数。
在这个问题中有可能。因为如果我有一个余弦,我就在右手边有一个余弦,如果那个余弦来到这里,它就在左侧,余弦的第二个导数是余弦,我要去余弦有余弦欧米茄T术语的匹配。然后我会选择正确的数字Y.
当那里有一个第一个衍生物时,我将无法做到这一点,因为余弦的第一个衍生物会带来迹象。我会有余弦和阳叶的混合物,然后我最好允许这种混合物。但在这里我不必。
有强迫功能。响应,这是强制响应。我想习惯这个词,回应解决方案。这是输入,响应是输出。所以让我只需将其插入等式并找到首都Y.
所以在这里我有m,第二个衍生物将是一个y,第二个衍生物会带出余弦的减去欧米茄平方时间。在这里,我有ky是余弦等于余弦的。我可以在那里有一个常量,但整数都不会更有趣,而不是一个比一个人更困难。
那我该怎么办?好事在这里我有所有余弦,所以我只是将少许欧米茄平方米和k。所以它是k减去m omega平方。我可以那样写它吗?时代Y.我要取消余弦。这只是一个1.在一边是1。
我取消了余弦,所以我一直ky。我一直抱着1,我一直保持着欧米茄的平方。所以马上告诉我y。这就像沿着指数和取消指数的插入一样。在这里,我一直取消余弦,因为每个术语都是余弦。
所以我知道你所以我知道答案。所以最终答案是y(t)是yn。好吧,让我把y特别先加yn。所以我刚刚发现了你的。你是这个首都y anome omega t。所以它是余弦欧米茄T次Y,Y是1。
这是y。下面我有k减去m omega squared。正确的?这就是我们刚才发现的,那个特定的解决方案。首都Y,乘法常数在该常数上是1。现在来自欧米茄NT的C1余弦和Omega NT的C2正弦。
请记住,Omega n与omega不同。实际上,这在这里非常好。我可以写另一种方式,所以你会在这里看到重要的。所以请记住,omega n平方是什么?我可以记住omega n平方是k over m。正确的?是的。
k是一样的 - 我将把那个m up放在这里 - k与m omega n平方相同。K与M omega n平方相同,在这里,我正在减去momega squared。当桥梁被强制购买靠近其谐振频率时,您将看到整个共振或近的共振点。
这种差异,欧米茄平方,两个频率之间的差异是在分母中,将很小,然后效果很大。如果我们得到那些太接近的话,效果太大了。所以我们会看到这个余弦欧米茄t这是,我会打电话,频率响应是这个因素。1 over m omega n平方减去欧米茄平方。
这是关键乘法器,因为迫使术语是纯频率,该频率被爆炸。当然,当然,资本C1和资本C2是什么?我们发现来自初始条件的那些。在T等于0时,我们放入等于0,告诉我们必须是什么C1。我们在T等于0将速度Y匹配为0,并告诉我们C2。那样你觉得可以吗?
看看那个解决方案的美丽。这是空部分。这是强制部分,特定部分,余弦除以该常数。还有一个等式,更常规的迫使术语我经常和现在常常讨论。这是一个三角洲功能,一个冲动。
所以我要再添加一个例子。我的双重Prime Plus Ky等于Delta功能。Delta函数。它被称为冲动。所以我想也要解决这个方程式。当迫使术语恰到一秒时,在初始第二次。在t等于0,delta函数,我正在击中春天。
所以春天坐在或摆在那里。实际上,让我们在休息时设置它。这是我的钟摆。我会尝试绘制一个摆锤。我不知道。这不是一个钟摆。但它足够好。
这个等式说,如果我用点来源击中它会发生什么?在t等于0,我击中它,但我给它一个有限的速度。它不会在那个瞬间移动。这就是Delta函数进来的地方,所以让我给你发生的事情,然后我们会再次看到它们。
那我在做什么?当强制函数是DELTA函数时,我想解决这个等式。所以我打电话给你的脉冲响应。当强制功能是冲动时,它是解决方案。所以y是脉冲响应。事实上,这是如此重要,我将把它给予它自己的来信。G。现在,我可以把那张y变成一个g吗?
因此,g是g的g是脉冲响应。如果我能解决这个等式。你可能会说,不是那么容易。使用Delta函数,它甚至不是真正的函数。这有点疯狂。这一切都在一秒钟内发生。对不起,一瞬间。没有超过一秒钟,但是一刻。
但我可以解决它。我可以为这个原因解决它。我可以将其视为这里的冲动,或者我有一个选择,另一种清楚地看待它可以将其视为解决它,没有力量mg双重素。相同的问题,相同的解决方案是0。
但我从休息开始。没有什么发生的事情。y为0。它从初始速度开始,y素为0.脉冲像高尔夫球一样开始。去吧。那里有一个1岁。我会讨论另一个时间。
我现在想要看到的是,我有一些神秘的等式或这个完全正常的方程,即使没有0的y开始0等于0的等式。但是初始速度是脉冲给系统的初始速度。我应该打电话给这个g。这是g。我们会再次看到脉冲响应,但是让我们通过解决这个方程来看看这次。
所以我计划解决这一方程,其实我们上次解决了它。你还记得这个解决方案吗?当它从0开始时,没有余弦。但是当初始速度为1 over m时,有一个标志。所以我要写下G的G,这只是欧米茄NT的正弦。
为什么它是自然频率?因为我正在解决没有。我正在寻找一个没有解决方案。但是上一个解决方案的视频让我这个。金宝搏官方网站只有我必须划分,将1 over m作为初始速度。你会看到它将解决没有公式。
这就是摆在摆锤或高尔夫球的情况。好吧,摆锤好多了。实际上,高尔夫球是穷人的例子。对于那个很抱歉。高尔夫球不会来回摆动。他们往往会去。
我正在寻找摆锤,春天上下。所以春天开始,初始速度为1 over m,然后在没有发生任何情况下。所以这是脉冲响应。对冲动的反应。为什么我喜欢那样?首先,它的美丽。简单的答案。
其次,每个强制功能和输出都来自这个。我们会看到这一点。因此,我们引入了强迫功能,Cos Omega T,特定解决方案是COS OMEGA T的倍数。现在,我们推出了一个强制函数Δ,响应是正弦函数的Δ函数。谢谢你。
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