好的。我想继续上一个视频,讲关联矩阵,图,网络,以及网络中的流。所以是5.6。这是5.6 b。
我记得同样的图。记住,一个图形是一些节点,这里有四个节点,还有一些边,在这种情况下是五条边。我有一个5 × 4的矩阵,就是这样。
我会记得它是怎么产生的。每一行对应一条边。第一条边是从结点1到结点2,所以我在第一列和第二列加了- 1和1。这告诉了我第一条边的作用它给了我关联矩阵的一行。5条边等于5行。这是矩阵。
这里我要乘以v,把向量v看成是四个节点上的电压,然后得到答案。1和- 1会得到这样的答案。好的。
现在我准备好回答关于矩阵A的问题了,这个5 × 4矩阵。这些矩阵,这些关联矩阵,是矩形矩阵的漂亮例子我们可以问关于矩阵的所有关键问题并得到一个很好的答案。我脑子里的关键问题是Av = 0的解是什么?金宝搏官方网站有——
也就是说,是否存在给出0列的列的组合?问题是,这些列是相关的吗?如果列向量是相关的,那么我会找到一些解,在这里。金宝搏官方网站如果列向量无关,唯一的解就是v = 0。
但这些列是相关的。我们怎么看呢?在这种情况下,我们可以找到Av = 0的解,因为我可以看到如何使所有这些差值为0?好吧,不努力。V可以是所有1的向量。那么差都是1 - 1,都是0。解Av = 0。
当然,我可以乘以任何常数。电压是,我说的是如果所有的电压都相等,就不会有电流。如果所有的电压都是相等的,而且网络中没有任何电池或其他电源,就不会有流量。这些是所有的解。金宝搏官方网站但让所有这些0的唯一方法是让所有v都是相同的。
所以所有的v都是一样的。v是C C C。
我学到了一些重要的东西。Av = 0有一些解。金宝搏官方网站我将跳过一个电子瞬间。如果我们想要一个可逆矩阵,那就不好了。最后我们会得到A ' A它不会是可逆的除非我们做些什么。
我们该怎么做?我们要消去最后一列。我们有三列。它们是独立的,但是第四列是其他的组合。实际上,我们要做的是,接地一个节点,这意味着我们设置其中一个v,可能是v4,如果我们把它设为0,就好像我们在固定温度,我们在固定电压,我们经常要在一个浮动的比例上做这个。
如果我们只知道温度差,我们必须说,0在哪里?如果我们让这个点为0,那么我们就只有三个未知的电压和一个5 × 3的矩阵。好的。这就是关于Av = 0的讨论。
那么A ' w = 0呢?现在我问的是这个矩阵的转置。这是一个4 × 5矩阵。还是一个漂亮的例子,4 × 5矩阵。当然,w。它是一个4 × 5矩阵乘以w, w是5 × 1。所以是4 × 5 × 5 × 1。我想要所有的0,这次是4个0。正确的。
首先,如果我有一个4 × 5矩阵,当我转置这是你可以说短而宽,我想会有自动解。金宝搏官方网站在4 × 5矩阵中会有解。金宝搏官方网站有5个未知数,4个方程,方程组就有解了。金宝搏官方网站所以会有一些解。金宝搏官方网站问题是我能找到多少个不同的w,有多少个不同的解,它们是什么意思。金宝搏官方网站
这就是这个例子的美妙之处,它不仅仅是矩阵中20个数的集合。矩阵是有意义的。关联矩阵取A到Av的差值等于v的差值,但是A转置的意义是什么?这是关键问题。为什么这个方程很重要?好的。
所以我要告诉你们A转置的意思。也许我要把A '抄下来。我到下一块黑板把A '抄下来。现在看A ' w,现在它是4 × 5。所以第一行变成了一列。第二行变成了转置的另一列。第三行,另一列,第四行,就是这一列。第五行是这个。
然后乘以w1 2 3 4 5得到0 0 0 0。这被称为电流定律,基尔霍夫电流定律。
这条定律是什么?这是什么意思?这意味着在网络的一个典型节点上,在节点1处,你还记得,有一条边向外延伸。Edge 1出局了。实际上有三条边消失了。这是结点2。这是结点3,这是结点4。在节点1,有三条边向外。现行法律告诉了我什么?它告诉我们流出的总流量是0。 The net flow, any flow in, which would be negative w's, and any flows out, which would be positive w's-- w, that came from the first edge. This was maybe the second edge. And I think that happened to be the fourth edge-- flows out of w.
这就是我在这里看到的。1 2 4是乘以w1 w2 w4是第一个方程是负的。W1加w2加w4等于0。这是A转置w = 0的第一行。对吧?
我只是从第一行取了这些数字。我写下了第一个方程。你可以看到,这三种气流的和必须是0。
所以如果有一些正的流出,就一定有一些负的w进来平衡。好的。这是在节点1,同样的,在节点2 3 4,电流是平衡的。这是平衡方程。
基尔霍夫定律,它是平衡方程。这是保护。应用数学建模的一个基本方程是,如果一个物体处于平衡状态,那么作用在它上的力也处于平衡状态。如果网络中有稳定的电流,电流就会保持平衡。总有一个平衡方程,这样东西就不会聚集在一个节点上。它是稳定的。好的。
这就是基尔霍夫电流定律的含义。这就是A转置w = 0的意思。
那么解呢?金宝搏官方网站金宝搏官方网站解w,现在我们进入细节部分。我们能找到w吗?嗯,会有一些的。会有一些的。
我说过,这里有5个未知数,只有4个方程。所以我们一定会找到一个解。让我建议一个寻找它的好方法。
假设气流——我把另外两条边画出来——假设气流绕着一个环路。循环是这里的关键。解决方案的关键是循环。这是一个沿这条边输出1的流,沿这条边输出1的流,我想是w5,沿这条边输出1的流。
注意。它将发送1安培环路。我顺着箭头,顺着水流,这样走,这样走,但这个是逆着箭头的。所以我认为一个解是w1 = 1。
你看,我写下了一个解没有做任何消去或其他线性代数运算。我只是在理解这个画面。w1是1。w5是1。w5是1。w4是什么?- 1,因为它与箭头方向相反。
另外两个w是0 w2 w3。这是w3。这些都不在这个循环中。
所以有一个w2和w3 = 0的解。我想它怎么可能在基尔霍夫现行定律下失败呢?没有任何东西在节点上堆积。我们只是在循环传送。当然,我代入的是1。W2是0。W4是- 1。我有一个1和一个- 1。得到0,很好。所有的方程都解出来了。
也就是说,结论,w的解来自于网络中的环路。金宝搏官方网站网络中的每个环都给我一个w。
这是另一个循环。我可以把水流送下去。现在是w4 + 1。这种方式。这种方式。看到第二个循环了吗?我来画一个环形的符号。绕着这个回路流动。这个环恰好有四条边。所以有四个w。 1 minus 1, 1, and minus 1, and no flow on edge 1, and I would have another solution. And it would be a different solution.
我可以在这里插入两个循环吗?在这张图上我看到了两个循环,两个小循环。每一个小环都是一个流,w,这就解决了电流定律,因为它一直在不停地旋转。
现在,有另一个问题要问你,那就是大循环,w1 w3,我想是- w2?如果我在大循环中发送流呢?没有问题。这就得到了另一组w。这些都满足基尔霍夫电流定律。它们满足这些方程。它们满足A转置w = 0。
但我不想要那个大循环。我不想把它包含在我的w列表中,因为我只需要两个w。我只需要两个w。
线性代数告诉我要找的就是这个数。而你在这里建议——我要怪你——第三次绕大圈。所以有什么事吗?嗯,你看到了吗?绕着这个大循环的流动确实解出了A转置w = 0,但这不是新的。它是绕这个循环的气流加上绕那个循环的气流之和。你看到了什么?
如果我加在一起流矢量,循环向量为w循环和循环,他们将取消在两个循环的边缘,我剩下的流,流,流,和大的循环。
换句话说,这个大循环并没有给我一个新的vec——它没有给我——它给我一个向量w这是我已经有的向量的组合。在线性代数中,这总是个问题。你想知道独立的w的个数,这个大循环是一个独立的w,因为它是另外两个的组合。好的。
这是一个特定例子的图像。我将以线性代数的事实作为结束,线性代数的事实。好的。
那么有多少——如果我有一个m × n矩阵,假设Av = 0有多少独立解?金宝搏官方网站k独立的解决方案。金宝搏官方网站在我的例子中,关联矩阵,答案是,对于A等于关联矩阵,k等于1。
如果我知道这个方程的解的个数,那么我期望有多少个解,这金宝搏官方网站个有,我期望有多少个解?
m和n的差在里面,然后加上k,所以是独立解。金宝搏官方网站
这是线性代数的一个基本事实我之前从未写过。我从来没有这样写过。我会在以后的线性代数考试中做这个题目。
我说的是如果我知道Av有多少个解,有多少个组合,这些是A的列向量的组合结果是0,那么我金宝搏官方网站就知道A的行向量的组合。
我们来验证一下这个计数定理是正确的。这是k = 1,对吧?Av = 0的唯一解是常数1,1,1,1。m = 5。n是4。k是1。5 - 4 + 1等于2。这就是基尔霍夫电流定律的循环解的个数。金宝搏官方网站好的。
我们有电压。我们有电流。这些矩阵中有很多优美的线性代数运算。
我还将包括一个关于RLC电路的视频,这完全是一个应用。我将从一个循环开始,一个RLC循环。但现代电子的现实是有成千上万个节点,成千上万条边,也许有成千上万条边,还有许许多多个环。
好。谢谢你!
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