从系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
图表有N节点连接m边缘(其他边缘可能缺失)。这对于互联网、大脑、管道系统等都是一个有用的模型。
好的。这个视频是一个不同的方向。它将是关于线性方程而不是微分方程。这个视频的中心是一个矩阵它叫做关联矩阵。关联矩阵告诉了我关于一个图的一切。
现在,我的意思是什么意思?我并不意味着正弦x或余弦x的图。单词图是完全用于某些边缘和一些节点的另一种方式。所以我有一些节点。在这种情况下,2,3,4节点。那是我的号码。
m是连接节点的边数。我有一条边1连接这些结点,边2,边3,边4和边5。我没有把边设为6。一个完全图可能有所有可能的边,但一个一般图可能有一些边。有些节点对是连接的,有些节点对是不连接的。
现在我要创建一个矩阵它能显示出图中的所有东西。然后我就可以处理矩阵和图形了。它们的矩阵是最重要的应用,对很多应用来说都是最重要的模型,比如万维网。网络可能。每个网站都是一个节点如果这些网站是链接的,那么两个节点之间就会有一条边。万维网是一个巨大的图表。
或者电话公司有一个巨大的图形,其中节点是电话,并且在两个电话之间从一部电话进行呼叫时,有一个边缘。所以,节点和边缘。我们的大脑 - 这是21世纪的巨大问题是了解代表我们大脑的图表,神经元在我们的思想中的联系 - 嗯,这是一个更艰难的问题,而不是我们今天解决。
让我用这个图来创建矩阵。所以这个矩阵有5行来自于5条边。取第一条边。第一条边,这是边1,从节点1到节点2。节点对应于列。如果我想要一条从节点1到节点2的边,那么这条边1就在第1行。所以边缘1。第一条边与第一行相连。
因此,边缘从节点1到节点2,所以我放一个减号和1.它没有触摸节点3和4.该边缘1.那是行1.现在告诉我我看到的一切我看到了关于边缘的一切。
边2从1到3。所以我在第2行放一个- 1,一个0,和一个1因为第2行是从边2开始的从1到3。
边缘3将给我第3行,从2到3.所以边缘3给我第3行,2到3。
边缘4从1到4.如此减1,没有,没有,没有1.告诉我边缘4从节点1到节点4.最后,从节点2到节点4是最终行。
你看到了图表吗?一切,现在在该矩阵中捕获此图片中的所有信息。所以我们可以使用矩阵。矩阵做了什么?它乘以向量。这就是矩阵所做的,它的作用于向量。
那么如果我乘以矢量矩阵会发生什么?所以现在让我取出这些边缘数字并进行乘法。该矩阵有四列,它是一个5乘4个矩阵,m by n。5到4。所以它将带有四个组件的向量乘以,这四个组件将来自四个节点。
也许它们表示节点处的电压。让我像电气工程师一样思考一会儿。因此,如果有我的矩阵,我想象在节点上的电压,V1,V2,V3,V4。因此,这里存在V1电压,V2,V3和V4,以及那些电压的电流将流动。所以我的未知是电压,四个电压和五个电流。这就是工程师需要知道的内容。
所以首先,当我乘以次数v时,我得到了什么?让我刚刚做到这一乘法。所以第一行时间给了我v2减去v1,对吧?带有载体的行的点产品。下一个是v3减去v1。然后我有一个减号1。这是V3减去v2。然后我有一个减号和一个1.我认为那是v4减去v1。最后,这将给我一个v4减去v2。
我在这里看到了什么?这是A乘以v,我乘以了一个电压向量。我发现了什么?我发现了电压的差异,边缘一端和另一端之间的电压差异。我有5条边,现在我有5个结果,这些就是电压差。
如果这些电压在不同的电压下,电压差异是什么?电流流动。如果它们处于相同的潜力,没有电流流动,对吧?这是来自电压的电流的基本驱动方程是电压的差异。潜在的差异驱动流量。
现在,流量是多少?现在我要寻找流动。我可以称它们为w,表示流动。所以w2是这条边的流。w1是一个流。一个w5,一个w3,一个w4。我的两个未知数——这就是这幅图的美妙之处——是节点上的电压v1到v4,以及5个边的电流w1到w5。Av给出了电压差。
我要简要介绍,简要地接近流动的基本规律,流动的流量在任何网络中流动。我们谈论最基本的等式,我几乎都说,是应用数学。也许我应该说离散的应用数学。通过离散的是,我的意思是没有衍生物的图表。我在这里看不到衍生品,我只是看到矩阵和向量。
所以我必须记住发病率矩阵,一个 - 让我再次写下。AV给出了电压差异。那是我的照片的一部分。另一部分是最终将其带到一起的等式是什么?如果我有电流 - 所以V的电压是电压。现在,将有一个涉及W,电流的方程式。
这是我要在这里写的,这将非常重要。它将成为Kirchhoff的当前法律KCL。我刚刚强调的是,Kirchhoff的名字有两个HS。所以Kirchhoff目前的法律说 - 并注意 - 它说总流入节点等于流量。我们在这里谈论均衡。
所以如果电流在我的图上流动,我的网络,这里是一个稳定的平衡流进节点1的流量等于流出节点1的流量。让我告诉你这个方程是如何用矩阵A表示的。
这个电压差涉及到,漂亮的是,基尔霍夫电流定律涉及到,A的转置。所以A转置现在是4 × 5。这些是流,一个有5个分量的矢量因为我有5条边。根据基尔霍夫电流定律,它等于0。
所以在A和α之间,发射矩阵导致我达到网络中流动的基本均衡条件。现在,需要一个法律。它必须连接电压差异以流动,电位电流。
你知道谁在电气工程中创造了该法律吗?这是欧姆。因此,欧姆的法律最后,欧姆的定律是边缘的边缘,电位差异,潜力下降,潜在的强制电流与电流成比例。
所以电压差 - 让我用文字写。电压差 - 电压降我可以说 - 在端部或跨越电阻之间的成比例,并且存在一些电阻,这里有一些物理号码。这是我们使用的材料进来的地方。
在基尔霍夫定律中,这些定律适用于网络,甚至在我们说网络是由什么组成之前。但是现在如果我们的网络是由电阻或者管道或者其他什么组成的,那么这就是电导。所以E等于阻力IR,乘以流量,乘以电流w。
因此,V的差异是一些数字,这是我们在实验室中衡量的物理常数,以了解我们的电阻器有多少欧姆。每个边缘都在每个边缘。所以我们有一堆方程式,他们告诉我们四个电压和五个电流。
也许我会在这里制作主要点。主要观点是该矩阵至关重要。a至关重要。转发至关重要。提供电压差异,它会发生一些事情。转置是每个节点的平衡法,平衡或当前余额。
而且你不会感到惊讶的是,当整个东西放在一起,我们有一个最终的方程来解决,我们最终得到了转塞和A.而且魔法组合,转移A,是图形理论的核心。它被称为Graph Laplacian,并拥有自己的名字和名声。谢谢你。
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