来自系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
D.y/ dt = ay包含解决方案金宝搏官方网站y= E.λt.X在哪里λ.和X是一个特征值/特征向量对一种。
因此,这是解决n线性恒系数方程系统的关键视频。那么我如何编写这些方程式?y现在是一个矢量,一个矢量与n个组件。而不是一个标量,只有一个数字y--你想让我把箭头放在y上吗?不,我不会再重复一遍。但这是强调y是矢量。它的第一个衍生品,这是一个第一订单系统。系统意味着可以有并且将是一个以上的未知,y1,y2到yn。
那么我们如何解决这样的系统?然后矩阵乘以Y和它们等同。y通过该矩阵耦合在一起。它们耦合在一起,我们如何解散它们?这是特征值和特征向量的魔力。
特征向量是以自己的方式进行的向量。所以当你有一个特征向量时,就像你有一个问题,一个问题是一个人只是一个数字,lambda。所以对于一般的矢量,一切都是混合在一起的。但对于特征向量,一切都保持一维。对于那个特殊方向的Lambda来说,更改。
当然,一如既往地,我们需要N个特征向量,因为我们想要采取起始值。正如我们为权力所做的那样,我们现在正在为微分方程进行。我拿走了我的起始向量,这可能不是特征向量。我会使它成为特征向量的组合。我很好,因为我假设我有一个独立的特征向量。
现在我遵循每个起始值c1 x1--这是什么?如果我在x1的方向,那么发生什么,那么A的所有混乱都消失了。它就像在该矢量x1上的lambda 1。这是你得到的。你得到了C1,这只是一个数字,时间e到lambda 1t x1。你在那里看到,而不是力量,我们有了它 - 当我们在做矩阵的力量时,我们有λ1到犹太力量,现在我们正在解决微分方程。所以我们让e到lambda 1t。
当然,接下来是叠加,我可以在解决方案上添加那个,这是e to lambda 2t x2加上的,加上cne到lambda nt xn。你可以看到什么时候,我可以问,什么时候稳定?解决方案什么时候转到0?金宝搏官方网站好吧,由于T变大,这个数字将转到0,所以Lambda 1是消极的。或者提供了它的真实部分是消极的。我们可以通过碎片公式从这件作品中了解一切。
让我只是做一个例子。采取矩阵A.在矩阵的权力 - 在那个视频中,我采取了马尔可夫矩阵 - 让我在这里相当于微分方程。所以这将给我们一个马尔可夫微分方程。所以让我现在带走。
Markov矩阵的列增加到1,但在微分方程情况下,它们会增加0.如减号1和1,或类似于负2和2.所以我们的权力有1的特征值就像特征值差分方程0。因为e到0t是1。
所以,无论如何,让我们找到那个特征等值。第一个特征值为0.这就是我对的。该列增加了0,该列会增加0.告诉我有0的特征值0。
什么是特征向量?可能是2,1,因为如果我将该矩阵乘以该载体,则我得到0.所以lambda 1是0.我的第二个特征值,痕量是减去3,Lambda 1加λ2必须给出minus 3.及其特征矢量是 - 它可能再次1减1。
所以我已经完成了初步工作。鉴于此矩阵,我们有特征值和特征向量。现在我拿了你 - 我们应该为u0说什么?u0-- y0,说出0的y开始。Y为0,作为一些数字C1次X1加上C2次X2。是的,没问题,没问题。无论我们有什么,我们都会拿到这一点 - 这个载体的一些组合,并且特征向量都会给我们y为0。
而现在,T是C1 e到0t- e to lampda 1t cipty x1,右图?你看,我们从C1X1开始,但经过一段时间后,它是Lambda T和这里的C2。e到λ2为负3t x2。这是马尔可夫进程的演变,是一个连续的马尔可夫过程。与矩阵的力量相比,这是该载体的连续演化演变。
现在,我对稳定状态感兴趣。稳定状态会发生变大。由于T变大,该数字很快就会迅速到0.在我们的马尔可夫矩阵示例中,我们有1/2到一个电源,并且很快就会到0.现在我们有一个幂级,零指数为零点。E到0t是1.该E到0t等于1.以便1是稳定状态的信号。没有什么改变,没有什么可以根据时间坐在那里。所以我有C1x1是稳定状态。
和x1是这一点。那么我在想什么?我认为无论你是如何开始的,无论0的y如何,随着时间的推移,X2部分都会消失。如果您只有2:1的比例只有X1部分。所以,如果我们在Y1 Y 2之间发生运动或者我们在时间内进化时,稳定状态是 - 这是稳定状态。
存在微分方程的示例,碰巧具有马尔可夫矩阵。随着马尔可夫矩阵,我们知道我们将有一个特征值 - 在连续的情况下,随着时间的推移,负面的特征值将消失。e to minus 3t进入0.好。
我想我可能只是向这个视频添加一点点,这是解释为什么每当添加到0的列时为什么0个特征值,减去1加1为0.2减号为零。告诉我0是一个特征值。对于马尔可夫矩阵,赋予添加到1和1的列是特征值。
所以我想我现在有两个事实的例子。如果所有列都添加到一些 - 我该金的总和,对于总和,那么Lambda等于特征值。这是来自马尔可夫矩阵的重点,S是1.添加到1的每柱,然后λ等1是特征值。并且对于此视频,每个列添加到0然后lambda等于0是特征值。
而且,这是关于特征值的另一个点,很好。转置的特征值与A的特征值相同。所以我也可以说,如果所有行都是加入S,那么lambda等于特征值。我说矩阵的特征值和转置的特征值是相同的。也许你想看到为什么这是真的。
如果我想要一个矩阵的特征值,我看起来lambda的决定因子我减去A.这给了我A的特征值。如果我想要转阵的特征值,我会看这个等于0,对吧?这个等同的0.等式会给我一个横盘的特征值,就像这一个给我一个特征值的方式。
但他们为什么一样?因为矩阵的决定因素和其转置的决定簇相等。矩阵及其转置具有相同的决定因素。让我只需用A,B,C,D.并且转置将是A,C,B,D.和两种情况的决定因素是AD减去BC,AD减去BC。转发不会影响。
所以这就是这样。兰德斯是一样的。因此,我们可以查看添加到s的列或添加到s的行。
所以这解释了为什么这两个语句都是真的,因为我可以看一下行或列并达到这个结论。那是,如果所有列添加到S--现在为什么是或所有的行添加到s?让我只是 - 我会告诉你特征向量。
在这种情况下,特征向量将是所有的次数。假设矩阵为4〜4。如果我乘以所有的矩阵,当你将矩阵乘以一个矢量乘法时,那么这一行的点产品是总和的,那么加上那加上的那样加上那个加号是我们。这将是因为这是第一行 - 这是一个 - 第一行的一个增加了。
所以这些数字增加了,我得到了。这些数字加到了,我再次得到了。这些数字增加了。而这些,最后那些数字加到了。而且我有S时代1,1,1,1。
你好吗?当所有行添加到s时,我可以告诉您特征向量是什么,1,1,1,1,1.然后是特征值,我可以看到这是总和s。因此,对于特殊的矩阵,在这种情况下,在马尔可夫命名的情况下,我们能够识别关于他们的特征值的重要事实,这就是普通的行和在该视频的情况下等于的情况,并且- 让我再次下来。
所以在这里,添加到0的每一列。它并不是添加到0的行。我不需要。我只是说,无论如何,A或颠倒的是相同的特征值,其中一个是0,另一个是追踪告诉我们的任何事情。
这些关于特定值的有用事实的集合出现了特定矩阵,您需要了解其特征值的内容。好的谢谢你。
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