这是热方程的视频。这是三个基本偏微分方程中的第二个。我们有拉普拉斯方程,时间不存在。现在时间进入了热方程。
我们有一个时间衍生,两个 - 与两个空间衍生品匹配。所以我有我的功能。我的解决方案取决于T和X,我希望我能分开这两个部分。这与我们解决了普通微分方程系统的方式。我们向λ拔出了λt,其中lambda是特征值,然后我们有特征向量。在这里,它是一个特征功能,因为它取决于x。我们之前没有X,但现在我们有偏微分方程。x也是这里的坐标。所以我寻找这样的解决方案。金宝搏官方网站和一如既往,我将其替换为微分方程以发现什么 - 确定x的s,s。
时间导数得到。空间导数下移,有两个空间导数。这就是当我把e ^ (t S)特征值乘以特征函数代入方程时得到的。总是,我消掉了e ^ (t)这就是它的美妙之处,我得到了一个特征值方程,或者我再次寻找一个函数。函数的二阶导数是某个数,乘以函数。好的。我要找的函数S,是正弦函数。S等于,S (x)等于sin (K x) sin (x)某项的符号乘以x。
特征值是什么?对它求导两次,得到sin k x,这很好,这是一个特征函数。特征值出来了,是,当我求两个导数时,k提出来两次,带一个负号。所以是- k方,方。我找到了一堆特征向量,特征函数,特征值。
这是一个简单的组合,但是通解,通解u (t x)是?如果我知道几个解,我有一个线性方程,金宝搏官方网站我就取组合。我们总是这样。取这些基本解的组合,得到一个求和,k从1到∞。金宝搏官方网站在微分方程,偏微分方程,我这里需要一大笔,一些系数,我称之为B k,乘以这个解决方案,e的λλ是什么——- k的平方,π方t, S, S数k。我应该给这个本征函数的数字,k。
这是特征函数和特征值的集合。然后,这是这些解的组合。金宝搏官方网站这是通解。对于sk,我应该写成sink x,这是对t的依赖关系。
让我们来看看这个。对t的依赖是快速衰减。如果K,随着K变大,这个和后面的项,衰减非常快。所以衰减最慢的一项,k = 1,有一个B1, e ^(-²t)它衰减得很快。
当我谈论衰变时,这里发生了什么?我有一个吧台,一个材料吧台。棒子的两端保持在零度,它们被冻结,热量在棒子里。热量在棒中流动。它要去哪里?它从末端流出。冰棒快要结冰了。两端保持冷冻状态,棒的内部,无论开始时有多少热量,都会从两端流出。
你看,我有这些正弦函数。当x = 0时,sin = 0在一端被冻结。当x = 1时,sin (k)也是0,所以它在另一端被冻结了。我把两端都冻结了。温度逸出了中心,我把解画出来。
也许我从-这是0到1的横条,我保持它不变。F表示冻结,F表示在这一端冻结。也许我从一个温暖的酒吧开始。u(0和x)等于1。这边是x,我有一个普通的加热棒,我把它放进冰箱。所以我把两边都隔离了所以热量从两端逸出,从x = 0和x = 1的两端逸出。它的解是,我记一下通解是什么,我要找出这些数。
好的。这些数字,当然,这些数字总是通过匹配初始条件得到的。这是初始图像,这是初始图像。好的。所以我要匹配它,所以这是t = 0,我要匹配bk的和,这是k从1到∞。当t等于,当t等于0时,这是1,我有Sk, sin (k x)它必须匹配1。从那里,我找到了Bk,然后是最终解。T大于0时使用Bks。我们再一次遇到傅里叶级数的问题。
任何时候我需要找到这些系数,这是一个傅里叶正弦级数,这里只有正弦,没有余弦。我要找出这些系数,使它匹配1,初始条件。t > 0,解你,我们说过,这些Bk的总和,这来自于初始条件,来自这个——傅里叶系数,我们仍然要这样做视频傅里叶级数知道这些数字将出来,乘以e - k的平方,π的平方乘以sin (x kπ。
你可能会想,这是一个很混乱的解,因为它是一个无限和。但对于偏微分方程来说还不错。我们有数字,我们有一些依赖于时间并且迅速衰减的东西,还有一些依赖于x的东西,所以在时间1,如果我画个图,假设热量是,温度从1开始。但是随着时间的衰减,一段时间后,温度就会变成这样。它会在末端很低,中间很低。所以在t时刻,温度是这样的,然后很快,温度会下降到这里,稳态,当然,整个是在温度0。
这就是热方程的解。金宝搏官方网站这是求无穷级数解的系数的步骤,我没做,这是求无穷级数解的系数的步骤。金宝搏官方网站再一次,我们有无穷多个解。金宝搏官方网站我们讨论的是偏微分方程。我们有一个完整的函数要匹配,所以我们需要所有这些。傅里叶级数告诉我们如何进行匹配,如何找到这些Bk。这是另一个重要的问题,傅里叶级数。谢谢你!
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