从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
在圆内,解u(r,θ)组合rn因为(nθ),rnsin (nθ)。边界解结合傅里叶级数中的所有项来匹配边界条件。
好的。这就是傅里叶级数。所以我要选一个方程其中我们有一个函数,而不仅仅是几个初值。所以我把这个方程写成偏微分方程。最著名的是拉普拉斯方程。
这就是准备过程。你们会看到傅里叶级数是怎么来的。我们围成一个圈。我要把它变成一个很好的模型问题。
在这个圆内,我们正在求解拉普拉斯方程。拉普拉斯方程是u在x方向的二阶导数,加上u在y方向的二阶导数,等于0。这就是热,温度,在不受影响的情况下,其自身分布的方式。
在这个问题中,我要在这一点放一个热源。所以它是一个点源。δ函数。剩下的边界温度是0。边界函数是一个函数在这一点有一个尖峰,其他地方为0。
我们的问题是解圆内的拉普拉斯方程。我们用极坐标,因为我们有一个圆。这是关于x和y的方程,但我们考虑的是r和。原因是,你可以用r和得到这个方程的漂亮的解。金宝搏官方网站
这是一组解。金宝搏官方网站R ^ n cos n是成立的。r ^ n sinn也是。对于每个n。
我们可以结合。我们有一个线性方程。我们可以把余弦函数的系数是n,正弦函数的系数是bn的解组金宝搏官方网站合起来。
这是关键的一步。代入r = 1。让r = 1。然后这个解,u(1)和,r = 1,是边界。它是圆。
在这里我们已知u(1)是函数。点光源。δ函数。δθ。原点在= 0处。
所以你看到我们的工作了。这个函数,这个边界条件,应该告诉我们a和b。然后解就出来了。
把r = 1代入这个公式,我们就能得到函数。让r = 1。容易做的事。它是a (n, 1) ^ n (cos n)的和,加上bn (1) ^ n (sin n)的和,应该与函数相匹配。
这就是函数的傅里叶级数。这才是重点。我们用傅里叶级数表达式来表示边界函数,不管边界函数是什么。这是一个非常漂亮的。
实际上,函数是偶函数。在处是0,在-处也是0。把变成-仍然是在0处的峰值。因为它是偶函数,所以我看不到任何符号。我不会看到任何奇函数。sinθ。
我很容易就能找到cos的系数an。实际上,我们直接从n的公式中做的。让我记住这个公式。公式是a0 = 1 / 2乘以平均值。
A0是温度的平均值。边界上的温度是。积分到1,我们得到答案1 / 2。这是平均温度。
这不是有点奇怪吗?除了一个点,温度为0。在这一点上,它是一个δ函数,系数在它外面。然后我们得到1除以2π的平均值。
另一个a n,余弦的系数,是1除以π,乘以δ函数的积分,乘以cos nθdθ。δ函数,即点源,在θ等于0时选择该数字。这个数字是1。所以我得到了1除以π。最后我知道了a和b。
当我把它们放进去的时候,这告诉我答案。这个答案-,现在我可以把r放回图片中-,这是一个和。好吧,让我拿a0项。a0是1除以2π-,这是常数,这是平均值-,加上1除以πcos nθ的和,从n等于1到无穷大。
r的n次方。对不起。R的n次方。
看看会发生什么。当r = 1时,我们有函数的傅里叶级数。这是边界上给出的异常函数。
当r小于1时,这些r到n次方的值变小,我们得到一个级数,这个级数加起来是一个合理的和。实际上,我们可以把这个级数加起来。把这个级数加起来是可能的。如果你从余弦变换到指数,这是一个几何级数。这通常是得到好公式的好方法。
在这里,你可以把它加起来。我想这里还有一个1/2π。我想它是1减r平方,大于1加r平方,减去2r cosθ。
我来确认一下我没记错。是的,看起来不错。看起来不错。
我们可以看看是不是好吃。让= 0。如果取等于0。我再画一个圆。θ等于0。我们从这条射线出来。当r = 1时,我们期望看到无穷大。
所以等于0。我把它写下来。在射线上,等于0。
这是你应该做的。我们有一个r和θ的公式,但让我们看看一些特殊的点,看看发生了什么。
沿着这条射线,θ是0,我有1除以2π,1减r平方,1加r平方,负2r。因为cosθ是1。而1加r平方,负2r,是1减r平方。对吗?因为cosθ在这条射线上是1。θ是0。cosθ是1。
现在1减r将从中得到因子。我想我们得到1加r。下面还有一个1减r。我喜欢。对于偏微分方程,你通常不会得到一些很好的解的表达式。这就是解。
当r变为1时,这个解爆炸了。对。边界上的温度是无限的,但内部的温度是合理的。
在r = 0处,有1 / 2。嗯,当然。这是平均值。在中心,温度就是边界上的平均值。
这是拉普拉斯方程的一个重要性质。它平均一切。实际上,如果我在任何地方画一个小圆,圆中心的温度就是这个小圆周围温度的平均值。所有的圆。它只是拉普拉斯方程。解拉普拉斯方程是求所有东西的平均值。
结果是温度函数在我进来的时候变平滑了。在边界附近,它远非光滑。在= 0处有一个大震动。但是如果我观察这个圆,或者这个圆,或者这个圆,温度是一个平滑的函数。
它永远不会超过边界上的最大值。它永远不会低于边界上的最小值。一切都是平均的。
这就是傅里叶级数的应用。对于一个特定的函数。我可以做另一个函数,但我不这么做。
我可以取函数在圆的上半部分是1在圆的下半部分是- 1。这是一个有跳跃的函数,但不是脉冲函数。我们会看到一个傅里叶级数它会给出a和b。这种情况下可能只有b。正弦。正弦条件。我们就会得到答案。
我在讲平均值的时候,再加一条评论。通常,对于一个复杂的区域,我们不能用公式来解拉普拉斯方程。这是不可能的。我们找不到符合某个疯狂边界的正弦和余弦。
所以我们必须替换拉普拉斯方程。我再写一次拉普拉斯方程。它进入u-,我们有一个区域。我们用一个网格把它切开。
然后在网格上的每一点上,都有一个方程连接这一点上u的值。假设中间是u0。你东,你西,你北,你南。
我们有一个方程,我想把它写下来。中心U就是平均值。它等于东u,西u,北u,南u的1/4。
这个方程成立。未知量都是u。所有网格点的u。每个网格点都有一个方程。
所以网格点的方程个数和网格点的未知量是一样的。解这个大方程组,就得到了一个解,一个拉普拉斯方程的近似解。这就叫做拉普拉斯差分方程,或者拉普拉斯5点方案,因为它用了5个点作为平均值。
好的。这是数值分析中的一个重要问题。谢谢你!
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