来自系列:微分方程和线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
具有指数输入,e圣,来自外面和指数增长,e在从内部看,解y(t)是两个指数的组合。
好的。我们仍然谈论具有DY DT的第一阶微分方程。并且仍然与平衡成比例的总术语。这可能是y中添加的兴趣。然后有输入,源期限,一直进行存款。
我要解这个微分方程。这是微分方程的最佳函数。指数。因为指数函数的导数是指数函数。这是最容易处理的。
输出,也就是解称为指数响应。“响应”这个词表示e ^ (st)输入时输出的是什么。和之前一样,我们有初始存款y (0)0时刻的初始条件。好的。
关键是,对于这个源函数,解,或者说一个解,一个特解,将是e ^ st的倍数,所以我要做的就是找到那个数字,大写的Y,然后我就得到了这个方程的解。我该怎么做呢?把这个代入方程,解出y。
它的导数,指数函数的导数会带来一个因子s,所以它的导数会有aye ^ st。它等于ax e ^ (st)加上源项e ^ (st)好吗?我只是把它代进去。
好的,消掉了,除以e ^ st,它不为0。所以我除以,把e ^ st提出来。只剩下1了。有Y * s, Y * a,加1。我把这个方程写下来。
这只是s减去次数Y是1.对吗?我花了次数,把它放在方程的左侧。所以我发现了指数响应。1在s减去a。好的。所以我有一个方程式的解决方案。
这不是结束,因为解不符合初始条件。如何匹配初始条件呢?我已经找到了一个特解,我还需要零解,齐次解。完整解y (t)就是这个y特解。
现在我知道大写Y是这个。我有e ^ (st)除以,我代入了Y,正确的Y值,这就是我找到的特解。加上任意零解。记住,零解,这一项没有了。金宝搏官方网站所以源是0。这就是为什么用null这个词。
我在求dy / dt = ay的解。dy / dt 金宝搏官方网站= ay的解是e ^ (at)乘以任意数。因为右边现在是0。这是特定的y。我写下来。这是y特徵,这是y零值,或者说y齐次。
这就是通解。完全解就是这种形式。现在我可以让y = y(0)在t = 0处。让t = 0,得到y (0) = t = 0,这是1。所以1 / (s - a)当t = 0时,这是1,所以加上C,现在我知道C是多少了。注意,C不仅仅是y(0)像以前那样。C等于y(0)减去这个。
您是否正准备好为满足初始条件的完整解决方案?所以现在我将以正确的形式要去它。这告诉我C必须是什么。所以我把它放进去,我有这个解决方案。
y的y是s st of s的minus a,很容易,加上c.现在,c是0.y的y为0.这就是我们所需要的。时间E到AT。这是我们的答案。这是我们的答案。
我可以让它看起来有点更好。我想要。我想分开0部分,从源代词的部分中刚刚从初始条件增长的部分。所以我只想把它放在一起。
下面是相同的s - a。这是上面的e ^ st。然后是- 1 / (s - a)乘以e ^ (at)然后是这一项,它是增长的。嗯,这真的很好。这部分是从初始存款中生长出来的。
我用的是银行里有额外存款的钱,e ^ st,这部分来自于以后的存款。初始部分,和来自这里的部分。这又是一个零解。e ^ at的倍数。
这是另一个特解。记住,特解不止一个。任何解都是特解。我称它为特解。因为它有一个很好的性质,它从0开始。
所以一个等于0,那是1减1,我得到了0.所以我会称之为y vp。我将介绍那些字母,而不是标准的那部分。然后是y同质的,或y unull,是这部分。好的。问题解决了。指数以这种方式增长,并且初始条件直接增长。好的。
问题是用一个例外解决的。现在我必须花一分钟的例外。如果s等于a,例外是公式的。如果s等于a,我将划分0.我的公式崩溃了。这就是谐振的情况。所以让我在这里填写,等于一个。那个共鸣。
我们总是需要预见这是一种可能性,我们将资金与金钱的自然增长相同,或者我们正在增长。我们的配方必须改变。你可能会说它是无限的,因为我划分了0。
但是注意上面的部分也是0。如果s = a,这是e ^ st - e ^ at。它们是一样的。这是0/0的情况。我的分子式坏了,但还没死。这需要更多的思考。共振的情况需要,我需要理解当s = a时这是什么。
让我告诉你它是什么。然后告诉你为什么。所以这是一个等于a的情况。因此,如果s等于a,则Y很特别加上Y NULL空间。因此,这是非常具体的解决方案,必须具有不同的形式。
这是它得到的表格。出现了因素t。你只是学会通过那个因素t认识到共鸣。所以它会是一个t e。a现在与s相同,所以没有出现s。因此,这是从0开始启动的解决方案,它来自输入。这是从0开始的部分和增长。
所以你看到,最终,这将是更大的。谐振案例,它会像e一样生长,略微额外增长。好的。所以现在我在那个特殊情况下有一个解决方案,当s等于a时。好的。
你想知道当s趋于a时这是怎么得到的吗?让我花三分钟告诉你们。洛必达法则。还记得微积分吗,0/0,处理它的方法叫这个家伙的名字,洛必达?医院,我猜。可能是用法语写的医院
这是0/0表达式。它是两个东西的比率。当s趋于a时,分母趋于0,因为它们是一样的。当s→a时,分母趋于0,洛必达的妙招是如果求导数的比值,结果是一样的。
所以l'hopital说,取得顶部减去衍生物的衍生物的比例 - 哦,除以底部的衍生物。然后让S到最后。好的。所以我必须采取这种衍生品,我必须接受那个衍生品。通常在微积分中,它是x。这是s。没什么大不了。
它的导数是,对s求导,我们把t写下来,s的导数是t e ^ st,它的导数是1。现在我们来看a,这很简单。这个接近那个。在极限处有t (at)
所以洛必达法则是这个共振公式背后的原因。但是,我再次强调,当你有共振时,期望因子t。好的。这就是右边可能的最佳解e ^ (st)也许最佳解是个常数。第二简单的是指数函数。接下来是正弦和余弦。这是下一讲。谢谢。
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