从系列中:gydF4y2Ba微分方程与线性代数gydF4y2Ba
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)gydF4y2Ba
对于两个方程,临界点有gydF4y2Baf(Y,Z)gydF4y2Ba= 0和gydF4y2Bag (Y, Z)gydF4y2Ba= 0。在这些常数解附近,两个线性化的方程使用了金宝搏官方网站偏导数的2 × 2矩阵gydF4y2BafgydF4y2Ba和gydF4y2BaggydF4y2Ba.gydF4y2Ba
好啊两个方程,两个方程的稳定性问题,临界点附近的稳定性。好啊所以我们的想法是,线性化,非常接近临界点,那个点。但现在我们在两个维度上。所以还有一点要做。gydF4y2Ba
这是总体情况,然后是一个例子。这是一般设置。我们有一个y的变化方程。但z也参与其中。我们有一个z的变化率方程。但y也参与其中。所以他们是结合在一起的。这将是一个新的耦合。gydF4y2Ba
临界点是什么?临界点是当右边为0时。因为y和z都是常数。所以它们停留在这一点。无论它们在临界点处是什么,都是稳态。他们保持稳定。他们保持稳定。它们保持不变。我们想让它等于0。我们想让这个等于0。gydF4y2Ba
我们有两个方程,f=0,g=0,两个方程。但我们有两个未知数,y和z。因此,我们期待一些解决方案。每种解决方案都必须单独考虑。每个解决方案都是一个关键点。就像,你可以想象一个高尔夫球场,它的表面在上升。所以临界点可能是最大点,或者是最小点金宝搏官方网站,或者我们会看到一个叫做鞍点的点。gydF4y2Ba
事实上,让我们来做一个例子。这个例子很有名。捕食者被称为猎物。捕食者像狐狸,猎物像兔子。所以狐狸吃兔子。问题是,狐狸和兔子的常数可以保持的稳定状态是什么?gydF4y2Ba
这就是猎物的反应方程式。所以如果兔子被单独留下,猎物就是兔子。如果它们不受干扰它们就会繁殖,大量的草。就去做吧。但是如果有狐狸,z数了狐狸的数量,那么狐狸就会吃兔子。我们失去了兔子。这里有个负号。捕食的数量正比于狐狸的数量乘以兔子的数量。因为这给出了可能会面的次数。gydF4y2Ba
那狐狸呢,捕食者?捕食者增加。这是因为遇到了兔子。这使得捕食者的数量增加。但是如果没有兔子,狐狸就不吃草。它们运气不好,会腐烂。这里是- z。看到规律了吗?gydF4y2Ba
从0和0开始,在这一点上,我定义了临界点,这是我的f,这应该是0,这是我的g,这应该是0,结果证明只有两种可能性。gydF4y2Ba
这是一个。如果y和z都是0,那么肯定得到0。这就像一开始有非常少的狐狸和兔子。或者如果y = 1 z = 1,你们看到了吗,它们是完全平衡的?如果y = 1 z = 1,那么这是0,这是0。所以方程是满足的。y保持在1,z保持在1。这是一个稳态。问题是,稳态下兔子的数量是否保持在1,因为它们吃草,很好。但他们被狐狸吃掉了,很糟糕。 And those two balance, and give a rate of change of zero.
狐狸也一样,狐狸从吃兔子中得到正推力。但自然原因使它们减少了。它们在z = 1处平衡。gydF4y2Ba
好的。所以我要做的就是线性化。这就是这节课的重点。这是线性化的关键,如何对两个函数进行线性化?如何线性化这两个函数?我先写出通式,你们会看到的。然后把它应用到这两个函数上。好的。gydF4y2Ba
这就是线性化的概念。所以我线性化。第一个函数是无论它在这一点的值是多少,它就像一条切线。现在我有两个导数。因为这个函数依赖于两个变量。所以有y - y,乘以现在我要做偏导。这是y方向的斜率,乘以移动量。gydF4y2Ba
然后相似的项,z减去大写z乘以z方向的移动量。我必须,因为我停止了,这是函数的线性部分。我必须加上一个近似的符号。因为我忽略了高阶导数。当然这是0。这就是为什么我们有线性的y和线性的z,乘以一些数字,斜率。gydF4y2Ba
但我们还有两个斜坡。因为我们有另一个y和z的函数g。在临界点,也就是0加y减去资本y,乘以dgdy加z减去资本z乘以dgdz。总之,线性物质和四个数,f在y和z方向上的导数,g在y和z方向上的导数。好啊gydF4y2Ba
现在我们有了一个例子。让我再举一次这个例子。那是我的f。那是我的g。可以很容易地找到那些偏导数。让我来做吧。关于y的偏导数是1减去z,z保持不变。关于z的偏导数是负y。让我把这些都写下来。gydF4y2Ba
这是例子。我可以创建一个矩阵df dy吗?这是一种很好的方法,如果我有4个东西,2 × 2矩阵很好。df, dz;dg dy;和dg dz。你可以说这是一阶导数矩阵。它是一阶导数的矩阵它总是以Jacobi的名字命名他首先研究了这些。它叫做雅可比矩阵。也许我该把他的名字写下来,雅各比。gydF4y2Ba
这个矩阵就是雅可比矩阵。它的行列式很重要。这是一个非常重要的矩阵,在经济学中很重要。我们正在做的事情——我在这里说的是捕食者-猎物,四处奔跑的小动物。但严重的问题是经济。经济稳定吗?如果它在某个稳定状态下运行我们稍微移动它一下,它会回到那个稳定状态,还是会完全失控?gydF4y2Ba
这就是雅可比矩阵。这些导数是什么?记住,函数是什么。这是我的功能。y的导数是1 - z z的导数是- y y的导数是z z的导数是y - 1。可以吗?这是我们需要从函数中知道的。我忘了黑板上的函数了。这是它们的导数。gydF4y2Ba
这就是雅可比矩阵。这是我的矩阵,这个矩阵有四个系数,四个数字。实际上,这个线性化,我把它叫做矩阵。我应该称它为雅可比矩阵J。我称它为雅可比矩阵J。好的。这就是雅可比矩阵。gydF4y2Ba
那么近似。线性化的方程是什么?线性化的方程是y和z的时间导数,所以左边就是dy / dt和dz / dt。我用向量表示,把y和z放在一起,而不是分开,没什么大不了的。gydF4y2Ba
然后我有这个矩阵J,这个2 × 2的矩阵,乘以注意这里是y - y和z - z这是线性化的问题。线性化,因为这是常数,这是线性的,单个y,单个z,我们有一个矩阵J。gydF4y2Ba
现在我要做的就是找到临界点。我都准备好了。我必须找到临界点。记住,临界点是f和g为0的地方。让我记住它们是什么。这是f,这是g,临界点是这个。一切都是0。另一个临界点是这个。所有的都是0。我有两个临界点,两个雅可比矩阵,一个在第一点,一个在第二点。gydF4y2Ba
那么这些矩阵是什么呢?当y和z等于0时,我有矩阵-,我把它放在这里,然后复制它。如果y和z是0,我有一个1和一个0,一个0和一个负1。我只是把y和z取为0。这是第一个关键点。第二个临界点给出了第二个点的雅可比矩阵。第二点是z为1时。现在是0。y是1,所以是-1。z是1,y减去1,y是1。所以这是一个0。这是第二个雅可比矩阵。gydF4y2Ba
我们看到了一些有趣的东西。我们看看2 × 2矩阵是如何运作的通过非常好的例子,1 0 - 1。这告诉我什么?这说明兔子在生长。因为兔子是第一个y,而狐狸是腐烂的。当这两个种群数量都很小的时候就会发生这种情况。当这两个种群非常小的时候,把它们相乘是非常小的。所以当这两个种群都很小的时候,就不要吃了。周围没有足够的人,足够的狐狸和兔子来做一顿像样的饭。所以dy / dt = y,兔子是吃草长大的。 dz dt is minus z, foxes are decaying from natural causes. So that's what kind of a stationary point will 0, 0 be?
兔子正在增长。这是一个不稳定点。我们在(0,0)离开。兔子正在增加。那么第二点呢?第二点是他们都是1岁的时候。当它们都是1时,我们就得到了雅可比矩阵。哦,这个有意思。我能先把这个做完吗?我感兴趣的是,我把这些事实写在一块新的黑板上。gydF4y2Ba
y ' dy / dt = y - yz。z ' = yz,兔子被吃掉了,减去z,我感兴趣的点是y = 1, z = 1。这个矩阵就是雅可比矩阵。雅可比矩阵的导数是(1 - z, - y)它的y导是z, z导是y - 1。在这点y和z是1。这就变成了0 - 1 1 0。gydF4y2Ba
我这里有什么问题?我的线性化方程,在点1,1附近线性化。我的方程是y减去1素数,对不起。这是到临界点的距离。y减去1的导数是,我在这里看到a减去1。我看到a减去z减去1。这里是一个正y负1。gydF4y2Ba
你必须理解这对线性方程。如果我使用其他变量,第一个变量的导数是负第二个变量。第二个家伙的导数加上第一个。会发生什么?gydF4y2Ba
一开始,如果我有一点——如果我有多余的狐狸,兔子的数量就会下降。兔子的数量——这将是负数。如果z,狐狸的数量略高于1,那么兔子的数量就会下降。当兔子数量下降时,z开始下降。当z开始下降到1以下时,兔子的数量开始增加。我得到了,我们该怎么说,兔子和狐狸的交换,兔子和狐狸之间的摆动?gydF4y2Ba
这是,在圆心,y = 1 z = 1的点,临界点。如果我一开始多了一些兔子,那么兔子的数量就会下降。因为狐狸正在吃它们。狐狸的数量将会增加。我去了。过了一会儿,我有狐狸了,但没有兔子吃。狐狸开始下降,然后发生了什么?gydF4y2Ba
我想,是的。兔子的数量开始增加。这就是发生的情况。我会绕一圈又一圈。如果你还记得2乘2方程路径的图片,那里有鞍点。这就是。y=0,z=0是鞍点。所以不,它是鞍点。gydF4y2Ba
我现在发现y等于1,是狐狸和兔子之间的振荡。所以,我可以再次说,这将是我们的中心,这是一张非常特别的照片,在那里它没有螺旋上升。它没有盘旋而来。特殊的数字,矩阵的特征值是,最好把特征值留给未来。因为这里正好是i和-i。gydF4y2Ba
它是圆周运动。它来自于这个方程。圆周运动y ' ' + y = 0。这是圆周运动。这就是我们得到的。gydF4y2Ba
所以这是一个中心。那么,我要叫一个中心马厩吗?不完全是,因为兔子和狐狸不接近1。它们在1的周围保持一个圆圈。不是我有多余的兔子就是多余的狐狸。但总能量或总能量在这个圆上保持不变。我称之为中性。中性稳定,因为它不会爆炸。我不会离开这一带。我一直在接近临界点。但我也不接近它。gydF4y2Ba
好的。在这种情况下,我们可以看到稳定性,基于线性化。好的。下节课再讲一个例子。谢谢。gydF4y2Ba
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