奇异矩阵铅笔和QZ算法

发布的克里夫硅藻土，2023年1月5日

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今年，2023年，是广义矩阵特征值问题的QZ算法诞生50周年，

Ax = λBx

该算法计算这些特征值而不反转一个或B．而且，qz算法可以帮助检测和分析异常情况奇异的铅笔．

内容

矩阵的铅笔

如果一个而且B是两个方阵吗线性矩阵铅笔是矩阵值函数吗

A - λb

铅笔是常规的如果λ至少有一个值，且A - λ b不为单数，则为λ。铅笔是单数如果两个一个而且B且A - λ b对所有λ都是奇异的。换句话说，

det(A - λ b) = 0。

单一的铅笔比乍一看更隐蔽。

例子

A = [9 8 7;6 5 4;3 2 1] b = [7 9 8;4 6 5;1 3 2]

A = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 b = 7 9 8 4 6 5 1 3 2

信谊年代AB = A - s*B d = det(AB)

AB = [8 - 9 * 9 - 7 * s, s, 7 - 8 * s] [6 - 4 * s, 5 - 6 * s, 4 - 5 * s] [3 - s, 2 - 3 * s, 1 - 2 * s] d = 0

eig1 = eig (A, B) eig2 = 1. / eig (B, A) [QAZ QBZ, Q, Z, V, W] =求(A, B);QAZ, QBZ

eig1 = -0.4071 1.0000 0.2439 eig2 = -2.0000 1.0000 0.3536 QAZ = -1.0298 -13.0363 7.7455 0 5.6991 -4.6389 00 0.0000 QBZ = 2.4396 -11.4948 9.6394 0 5.6991 -4.6389 00 0.0000

eig3 = eig (A, B) eig4 = 1. / eig (B ', ') [QATZ QBTZ, Q, Z, V, W] =求(A, B);QATZ, QBTZ

eig3 = -0.2169 Inf 1.0000 eig4 = -0.0738 0 1.0000 QATZ = -0.0000 -15.0218 6.8390 0 2.6729 -2.2533 00 0.5922 QBTZ = 0.0000 -15.2578 7.1280 00 1.0203 00 0.5922

威尔金森的例子

clear A = [4 3 2 5;6 4 2 7;-1 -1 -2 -2;5 3 2 6] b = [2 1 3 4;3 3 3 5;0 0 -3 -2;3 1 3 5]

A = 4 3 2 5 6 4 2 7 -1 -1 -2 -2 5 3 2 6 b = 2 1 3 4 3 3 3 3 5 0 0 -3 -2 3 1 3 5

信谊年代AB = A - s*B d = det(AB)

AB = [4 - 2 * 3, 2 - 3 * s, 5 - 4 * s] [6 - 3 * s, 4 - 3 * s, 2 - 3 * s, 7 - 5 * s] [1, 1, 3 * s - 2, 2 * s - 2] [5 - 3 * s, 3, 2 - 3 * s, 6 - 5 * s] d = 0

eig1 = eig (A, B) eig2 = 1. / eig (B, A) [QAZ QBZ, Q, Z, V, W] =求(A, B);QAZ, QBZ

eig1 = 1.2056 0.7055 -1.0000 -Inf eig2 = 1.5097 0.6408 0 -1.0000 QAZ = 0.7437 4.1769 -12.7279 -5.5000 0 0.0000 5.2328 2.1602 00 0.7857 0.0123 0000 -0.2887 QBZ = 0.5005 6.6143 -8.4853 -2.5000 0 0.0000 3.2668 2.0105 00 1.1525 -0.7904 0000 0 0.2887

eig3 = eig (A, B) eig4 = 1. / eig (B ', ') [QATZ QBTZ, Q, Z, V, W] =求(A, B);QATZ, QBTZ

eig3我-0.2141 - 0.2033 = -0.2141 + 0.2033 + 0.0000我eig4 1.4508 + 0.0000 = 0.7013 0.3168 0.9823 1.2325 0 QATZ我0.2665 + 0.0169 = 0.1281 - 0.2434 0.2663 0.3721 + 3.5350 + 1.4905我0.0000 + 0.0000我0.0587 + 0.1116 5.2603 - 1.6197 12.7878 - 4.0110 0.0000我0.0000 + 0.0000 0.0000 + 0.0000 + 0.0000我4.1745 + 0.0000 0.0000 0.0000 + 0.0000 + 0.0000我0.0000 + 0.0000我QBTZ 0.7572 + 0.0000 = 0.9052 + 0.0000我0.6130 - 0.6141 -0.2443 0.0000 1.2233 + 2.5485 + 0.8738我我0.4150 + 0.0000 + 0.00003.5658 - 1.2114i 8.0696 - 2.2671i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.5220 + 0.0000i