什么是随机过程？

一个时间序列y_t对一个变量的观察是否在几个时间点上按顺序索引t= 1,2,…,T．时间序列观察y₁，y₂、……y_T本质上是相关的。从统计建模的角度来看，这意味着将时间序列视为独立观测的随机样本是不合适的。

统计建模的目标是为您的数据找到数据生成过程的紧凑表示。经济型时间序列建模的统计构建块是随机过程。启发式，A随机过程是随机变量集合的联合概率分布。通过建模观察时间序列y_t作为一个随机过程的实现 $$y＝｛y_t；t＝1，\mathrm{．..}，T｝$$，可以适应数据的高维和相关性。这组观察时间T可以是离散的也可以是连续的。图1-1，月平均CO2显示每月平均CO₂1980年至2012年，夏威夷的Mauna Loa天文台记录的集中（ppm）［3］．

静止过程

随机过程是弱平稳或者协方差静止(或简单,静止的)，如果它们的前两个力矩是有限的并且随时间而恒定。具体来说,如果y_t是一个平稳的随机过程吗t：

没有绑定的情况似乎是随机过程的情节似乎增加或减少？此问题的答案表示随机过程是静止的。“是”表示随机过程可能是非标准的。在图1-1，月平均CO2，co的浓度₂在没有绑定的情况下增加，这表明了非间接随机过程。

线性时间序列模型

山地定理［2］你可以把所有弱平稳随机过程写成一般线性形式

在这里, $${\mathrm{\epsilon .}}_t$$表示一系列不相关(但不一定独立)的随机变量，它们来自定义良好的平均为零的概率分布。它经常被称为创新的过程因为它能及时捕获系统中的所有新信息t．

单位根过程

线性时间序列模型是一个单位根过程如果解集为特征方程式包含单位圆上的根（即，具有一个绝对值）。随后，随机过程的元素的预期值，方差或协方差随着时间的推移而生长，因此是非营养性的。如果您的系列具有单位根，则差异可能会使它静止。

例如，考虑线性时间序列模型 $$y_t＝y_{t-1}+{\mathrm{\epsilon .}}_t，$$在哪里 $${\mathrm{\epsilon .}}_t$$创新的白噪声序列是否具有方差σ.²（这被称为随机步行）。该模型的特征方程是 $$z-1＝0，$$根是1。如果最初的观察y₀是固定的，那么您可以将模型写成 $$y_t＝y_0+{\displaystyle \underset{我＝1}{\overset{t}{\sum }}{\mathrm{\epsilon .}}_{我}}．$$其期望值为y₀它与时间无关。然而，该系列的方差为tσ.²，随着时间的推移，使系列不稳定。采取第一个差异来改造系列，模型变为 $$d_t＝y_t-y_{t-1}＝{\mathrm{\epsilon .}}_t$$．这个级数的特征方程是 $$z＝0$$，所以它没有单位根。注意

图1-1，月平均CO2似乎是非营养的。如果你绘制第一个区别，会发生什么d_t＝y_t- y_t1这个系列？图1-2,CO2月差异显示了d_t．如果不考虑波动，随机过程似乎一般不会增加或减少。你可以得出结论d_t是静止的，那呢y_t是单位根除不存在。有关详细信息，请参阅差分．

滞后算子符号

的滞后算子l在时间序列运行y_t这样 $$l^{我}{y}_t＝y_{t-我}$$．

一个米系数的th次滞后多项式b₁，b₂、……b_米被定义为

在LAG运算符符号中，您可以使用无限度多项式编写一般线性模型 $$\psi （l）＝（1+{\psi }_{1}l+{\psi }_2{l}^2+．..），$$

你不能用有限的数据来估计一个系数的无限次多项式模型。然而,如果 $$\psi （l）$$是一个有理多项式(或近似有理)，你可以把它写成(至少近似地)两个有限次多项式的商。

定义问-degree多项式 $$\mathrm{\theta .}（l）＝（1+{\mathrm{\theta .}}_{1}l+{\mathrm{\theta .}}_2{l}^2+．..+{\mathrm{\theta .}}_{问}{l}^{问}）$$和p-degree多项式 $$\mathrm{\phi .}（l）＝（1+{\mathrm{\phi .}}_{1}l+{\mathrm{\phi .}}_2{l}^2+．..+{\mathrm{\phi .}}_p{l}^p）$$．如果 $$\psi （l）$$是理性的，然后

因此，通过沃尔德定理，你可以将每个平稳随机过程建模(或近似)为

已p+问系数(有限数)。

特征方程

一个学位p特征多项式线性时间序列模型 $$y_t＝{\mathrm{\phi .}}_1{y}_{t-1}+{\mathrm{\phi .}}_2{y}_{t-2}+\mathrm{．..}+{\mathrm{\phi .}}_p{y}_{t-p}+{\mathrm{\epsilon .}}_t$$是

这是另一种评估序列是平稳过程的方法。例如，的特征方程 $$y_t＝0.5y_{t-1}-\mathrm{０．０２}{y}_{t-2}+{\mathrm{\epsilon .}}_t$$是 $$\mathrm{\phi .}（\mathrm{一个}）＝{\mathrm{一个}}^2-0.5\mathrm{一个}+\mathrm{0.02。}$$

根源均匀的特征方程 $$\mathrm{\phi .}（\mathrm{一个}）＝0$$（叫做特征根)确定线性时间序列是否平稳。如果每根根 $$\mathrm{\phi .}（\mathrm{一个}）$$位于单位圈内，然后该过程是静止的。如果它们具有小于1的绝对值，则根部位于单位圈内。如果一个或多个根在单位圆内部（即，具有一个）内部的一个或多个根部，这是一个单位根过程。继续例子，特征根 $$\mathrm{\phi .}（\mathrm{一个}）＝0$$是 $$\mathrm{一个}＝｛0.4562，0.0438｝．$$由于这些根的绝对值小于一个，因此线性时间序列模型是静止的。