这是有关马克·卡克（Marc Kac）1966年的《美国数学月刊》中有关马克·卡克（Marc Kac）的一系列文章的第二部分[1]。该部分专门用于征本征函数的图案。

内容

本征函数

我在第1部分中描述了同一鼓。本征函数的轮廓图很漂亮。这是前二十个。细节随着频率的增加而增加。注意第九本特征功能创建的三角形。这些三角形在本文的下一部分中起着核心作用。

％顶点drum1 = [0 2 2 3 2 1 1 1 0 0 1 3 2 2 1 1 0 0];drum2 = [1 0 0 2 2 3 2 1 1 1 0 1 2 2 3 2 1 1 0];顶点= {drum1，drum2};特征值的％Eignos = 20;％网格大小ngrid = 32;％计算特征值和本征函数h = 1/ngrid;[x，y] = meshgrid（0：h：3）;inpoints =（7*ngrid-2）*（ngrid-1）/2;lambda =零（Eignos，2）;v =零（inopoints，eignos，2）;％循环在两个鼓上为了d = 1：2 vs =顶点{d};[in，on] = inpolygon（x，y，vs（1，:)，vs（2，:)）;in = xor（in，on）;％的内部网格点。g = double（in）;p = find（g）;g（p）=（1：长度（p））';网格{d} = g;％离散的拉普拉斯人a = delsq（g）/h^2;％稀疏基质特征值和矢量。[v（：，：，d），e] = eigs（a，eignos，0）;lambda（：，d）= diag（e）;结尾％绘制本征函数。为了d = 1：2为了k = 1：Eignos图（Ceil（K/2））集（GCF，'颜色'，，，，'白色的'）子图（2,2,2*mod（k-1,2）+d）％在网格内部插入k-th特征向量。g =网格{d};p = find（g）;u =零（size（g））;u（p）= v（：，eignos+1-k，d）;％使第一个特征向量为阳性，因此其颜色与其他颜色匹配。如果k == 1 u = -u;结尾％插入Nan的外观消失。vs =顶点{d};[in，on] = inpolygon（x，y，vs（1，:)，vs（2，:)）;u（〜in）= nan;％填充的轮廓图，边界上有一条线。s = max（abs（u（:)））;CONTOURF（x，y，u，s*（ -  1：1/4：1））线（vs（1，:)，vs（2，2，:)，，：:)，，'颜色'，，，，'黑色的'，，，，'行宽'，2）标题（num2str（k））轴（[ -  0.1 3.1 -0.1 3.1]）轴正方形离开结尾结尾

连续解决第九本特征功能的解决方案。

任一区域的第九个特征功能是等离子三角形区域的第一个特征功能，反映以填充整个区域。连续问题的相应特征值为$ 5 \ pi^2 $。$$ v_9 = \ sin {2 \ pi x} \ sin {\ pi y} - \ sin {\ pi x} \ sin {2 \ pi y} $$

v9 continoun = @（x，y）sin（2*pi*x）。*sin（pi*y） -  sin（pi*x）。*sin（2*pi*y）;图（GCF+1）集（GCF，'颜色'，，，，'白色的'）为了d = 1：2 u = v9连续（x，flipud（y））;子图（2,2，d）vs =顶点{d};[in，on] = inpolygon（x，y，vs（1，:)，vs（2，:)）;u（〜in）= 0.5*u（〜in）;s = max（abs（u（:)））;CONTOURF（x，y，u，s*（ -  1：1/4：1））线（vs（1，:)，vs（2，2，:)，，：:)，，'颜色'，，，，'黑色的'，，，，'行宽'，3）标题（“连续V9'）轴（[ -  0.1 3.1 -0.1 3.1]）轴正方形离开结尾

参考

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