在单位正方形中随机选择的两个点之间的距离是多少?我在Presh Talwalkar维护的YouTube频道上发现了这个问题，注意你的决定．他的说法是正确的一个非常难的谜题．起初，我猜答案可能是1/2美元。但正确答案比这更有趣。

内容

模拟

让我们做一个蒙特卡罗模拟来得到一个数值估计。对一百万对点进行抽样并不需要花费太多时间。

N = 1000000;Sum = 0;rng (0)为K = 1:n x = rand(1,2);Y = rand(1,2);Delta =范数(x-y);Sum = Sum + delta;结束格式短= sum/n

Delta = 0.5214

事实证明，这一模拟运行产生的结果精确到四位数的精度格式的短．但我们能找到准确的值吗?

四倍积分

期望距离$\delta$可以表示为这个四重积分，但是符号工具箱找不到一个封闭的形式。

δ= $ $ \ \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ !\√6 {(x_1-y_1) ^ 2 + (x_2-y_2) ^ 2} \ \ mathrm {d} x_1 \ mathrm {d} y_1 \ mathrm {d} x_2 \ mathrm {d} y_2 $ $

二重积分

代入$x = x_1 - y_1$和$y = x_2 - y_2$，然后考虑在四个变量为正或负的区域内的积分。这四个积分彼此相等就得到了这个二重积分。

$$\delta = 4 \int_0^1 \int_0^1 \!\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ (1 - x) (1 y) \ \ mathrm x \ d {} mathrm y $ $ {d}

数值积分

我们用数值方法来处理二重积分。

F = @(x,y) 4*√(x.^2+y.^2).*(1-x).*(1-y);delta = integral2(F,0,1,0,1)

Delta = 0.5214

极坐标

切换到极坐标，$r$和$\theta$。$\√{x^2+y^2}$项就是$r$，二重积分在$45^o$直线上有两个相等的半部分，$\theta = \pi/4$。

δ/ 8 = $ $ \ \ int_0 ^{\π/ 4}\ int_0 ^ {\ sec{\θ}}r(第一轮\ cosθ}{\)(第一轮\ sinθ}{\)\ r \ mathrm} {d r \ mathrm {d} \θ$ $

象征性的集成

被积函数是r的多项式。

信谊rθ真正的F = expand(r^2*(1-r*cos())*(1-r*sin())))

F = r^2 - r^3*sin - r^3*cos + r^4*cos *sin

工具箱可以很容易地积分这个多项式。

inner = int(F,r,0,sec(theta))

内部= 1 / (12 * cos(θ)^ 3)- sin(θ)/ (20 * cos(θ)^ 4)

工具箱还可以对$\theta$进行外部积分。

Outer = int(inner,theta,0,pi/4)

外层= log(2^(1/2) + 1)/24 + 2^(1/2)/120 + 1/60

乘以8。

Delta = 8*outer

= log(2^(1/2) + 1)/3 + 2^(1/2)/15 + 2/15

生成一个乳胶表示$\delta$，稍后将剪切和粘贴到这篇文章。

乳胶(δ);

数值

格式长Delta = double(Delta)

Delta = 0.521405433164721

这是我最后的答案

结果如下。

δ= $ $ \ \压裂{\ ln \离开大概{2}+ 1(\ \)}{3}+ \压裂{\ sqrt{2}}{15} + \压裂{2}{15}$ $

三个维度

那么三维空间呢?在单位立方体中随机选择的两个点之间的距离是多少?我将把这个问题作为一个挑战，并邀请任何自认为知道答案的人发表评论。

谢谢

感谢普雷什·塔尔沃卡提供的这个小消息。

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