两天前我写了随机分在一个广场。在最后一刻我添加段落询问泛化随机分在一个立方体。我必须承认我没有检查网络看看知道问题是什么。

我的帖子出现后不久,Pieterjan Robbe比利时鲁汶KU提交评论指出的问题已被广泛的研究。他提供了几个指针。解决方案甚至有一个名称;它叫做罗宾斯常数。我已经列出下面的一些参考资料。

内容

罗宾斯常数

罗宾斯常数的值是6倍积分。

δ= $ $ \ \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ !\√6 {(x_1-y_1) ^ 2 + (x_2-y_2) ^ 2 + (x_3-y_3) ^ 2} \ \ mathrm {d} x_1 \ mathrm {d} y_1 \ mathrm {d} x_2 \ mathrm {d} y_2 \ mathrm {d} x_3 \ mathrm {d} y_3 $ $

改变变量使其成为一个三重积分。

$ $ \δ= 8 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ !\√6 {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \ (1 - x) (1 y) (1 - z) \ \ mathrm x \ d {} mathrm y \ d {} mathrm z $ $ {d}

数值积分

与默认的公差数值积分得到大约九位小数。

格式长F = @ (x, y, z) sqrt (x ^ 2 + y ^ 2 + z。^ 2) * (1 - x)。* (1 y)。* (1 - z)δ= 8 * integral3 (F, 0 1 0 1 0, 1)

F = function_handle价值:@ (x, y, z) sqrt (x ^ 2 + y ^ 2 + z。^ 2) * (1 - x)。* (1 y)。* (1 - z)δ= 0.661707182095901

分析解决方案

准确的解析解令人印象深刻。我不能解释它来自哪里。

δ= $ $ \ \压裂{1}{105}(4 + 17 \ sqrt {2} - 6 \ sqrt {3} + 21 \ log {(1 + \ sqrt {2})} + 84 \ log {(1 + \ sqrt {3})} - 42 \ log{(2)} - 7 \π)$ $

这是数字值。

δ= (1/105)* (4 + 17 * sqrt(2) - 6 * 12 +(3) + 21 *日志(1 + 12 + (2)+…日志84 *(1 +√3)日志(2)- 7 - 42 * *π)

δ= 0.661707182267176

超立方体和Vectorize

我也收到了电子邮件从MathWorks同事马特Tearle通知我vecnorm一个新函数,在MATLAB R2017b发布。不像规范函数计算矩阵规范,vecnorm将元素沿着指定的维向量和计算每个向量的规范。这是文档页面。

我在这台电脑还没有R2017b,但马特的邮件促使我思考vectorizing模拟,即使没有vecnorm。当我们,让我们推广d维超立方体。我将使它成为一个一行程序。

n = 10000000;% n样本。为d = 1:10% d维度。δ=意味着(√总和(兰德(n, d)兰德(n、d)) ^ 2, 2)));流(“% 6 d % 7.4 f \ n”dδ)结束

1 0.8786 0.7778 0.6617 0.5215 0.3335 - 2 3 4 5 6 1.2675 1.1997 1.1282 0.9692 1.0517 7 8 9 10

谢谢

由于Pieterjan Robbe和马特Tearle。

引用

d·p·罗宾斯,2629题,平均两个点之间的距离在一个盒子里,阿米尔。数学月,85.4,1978,第278页。

j·m·d·h·贝利Borwein和r·e·克兰德尔盒子积分理论的进步,< http://crd-legacy.lbl.gov/ dhbailey / dhbpapers / BoxII.pdf>。

约翰·菲利普的概率分布之间的距离两个随机点在一个盒子里,https://people.kth.se/ ~ johanph / habc.pdf。

埃里克·w·Weisstein超立方体行选择。MathWorld,< http://mathworld.wolfram.com/HypercubeLinePicking.html>。

n·j·a·斯隆、编辑、在线百科全书的整数序列,十进制的扩张罗宾斯常数,< http://oeis.org/A073012>。

得到了MATLAB代码

发表与MATLAB®R2017a