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贝茨

贝茨随机波动率模型

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描述

的贝茨函数创建贝茨对象，表示贝茨模型。

贝茨模型是一个二元复合模型，它起源于赫斯顿对象。贝茨模型由两个耦合且不同的单变量模型组成，每个模型都由一个布朗运动风险源和一个代表重要事件到来的复合泊松过程驱动NPeriods连续观察期。贝茨模型近似于连续时间贝茨随机波动过程。

第一个单变量模型是“绿带运动”模型具有一个随机波动函数和一个随机跳跃过程，通常对应于一个价格过程，其方差率由第二个单变量模型控制。第二种模型是Cox-Ingersoll-Ross (圆形的)平方根扩散模型，该模型描述了耦合方差率的演化过程“绿带运动”价格的过程。

贝茨模型是二元复合模型。每个Bates模型由两个耦合的单变量模型组成:

  • 几何布朗运动(“绿带运动”)模型的随机波动函数和跳跃。

    d X 1 t ＝ B （ t ） X 1 t d t + X 2 t X 1 t d W 1 t + Y （ t ） X 1 t d N t

    该模型通常对应于一个价格过程，其波动性(方差率)由第二个单变量模型控制。

  • 考克斯-英格索尔-罗斯(圆形的)平方根扩散模型。

    d X 2 t ＝ 年代 （ t ） ［ l （ t ） − X 2 t ］ d t + V （ t ） X 2 t d W 2 t

    该模型描述了耦合贝茨价格过程方差率的演化过程。

创建

语法

贝茨=贝茨(回报，速度，水平，波动率，JumpFreq,JumpMean,JumpVol)
贝茨___、名称、值)

描述

例子

贝茨=贝茨(返回，速度，水平，波动，JumpFreq，JumpMean，JumpVol）创建一个贝茨使用默认选项初始化。

由于Bates模型是由耦合单变量模型组成的双变量模型，因此所有所需的输入都对应于标量参数。指定所需的输入为以下两种类型之一:

  • MATLAB®数组中。指定一个数组来指示静态(非时变)参数规范。该数组完全捕获所有实现细节，这些细节与参数形式明显关联。

  • MATLAB函数。指定一个函数来为几乎任何静态、动态、线性或非线性模型提供间接支持。金宝app接口支持此参数，因为函数隐藏并完全封金宝app装了所有实现细节。

请注意

您可以根据需要指定数组和函数输入参数的组合。此外，如果函数接受标量时间，则将参数标识为时间的确定性函数t作为它唯一的输入参数。否则，假设参数是时间的函数t和国家Xt并且使用两个输入参数调用。

例子

贝茨=贝茨(___，名称,值）集属性在前面语法中的输入参数之外使用名称-值对参数。将每个属性名用引号括起来。

的贝茨对象具有以下属性属性：

  • 开始时间-初始观测时间

  • StartState-时间的初始状态开始时间

  • 相关—访问功能相关输入参数

  • 漂移-复合漂移率函数

  • 扩散-复合扩散速率函数

  • 模拟-模拟函数或方法

输入参数

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GBM价格过程的预期平均瞬时收益率，指定为数组或时间的确定函数。

如果你指定返回作为一个数组，它必须是标量。

如果你指定返回作为时间的决定性函数，你调用返回用一个实数标量时间t作为它的唯一输入，它必须返回一个标量。

如果你指定返回作为时间和状态的确定性函数，当你用两个输入调用它时，它必须返回一个标量:

  • 一个实值标量观测时间t

  • 一个2——- - - - - -1二元状态向量Xt

数据类型:双|function_handle

CIR随机方差过程的平均回归速度，指定为时间的数组或确定性函数。

如果你指定速度作为数组，它必须是标量。

如果你指定速度作为时间的决定性函数，你调用速度用一个实数标量时间t作为它的唯一输入，它必须返回一个标量。

如果你指定速度作为时间和状态的函数，该函数计算平均回归速度。当你用两个输入调用它时，这个函数必须返回一个回归率的标量:

  • 一个实值标量观测时间t

  • 一个2——- - - - - -1二元状态向量Xt

请注意

虽然贝茨没有任何限制速度时，均值回归速度非负，使得底层过程恢复到某个稳定水平。

数据类型:双|function_handle

CIR随机方差过程的回归水平或长期平均值，以数组表示，或时间的确定函数。

如果你指定水平作为数组，它必须是标量。

如果你指定水平作为时间的决定性函数，你调用水平用一个实数标量时间t作为它的唯一输入，它必须返回一个标量。

如果你指定水平作为时间和状态的确定性函数，当你用两个输入调用它时，它必须返回一个回归级别的标量:

  • 一个实值标量观测时间t

  • 一个2——- - - - - -1二元状态向量Xt

数据类型:双|function_handle

瞬时波动率的CIR随机方差过程(通常称为波动的波动或方差波动率)，指定为标量，时间的确定函数，或时间和状态的确定函数。

如果你指定波动作为标量，表示CIR随机方差模型的瞬时波动率。

如果你指定波动作为时间的决定性函数，你调用波动用一个实数标量时间t作为它的唯一输入，它必须返回一个标量。

如果你指定波动作为时间和状态的确定性函数，波动当你用两个输入调用它时必须返回一个标量:

  • 一个实值标量观测时间t

  • 一个2——- - - - - -1二元状态向量Xt

请注意

虽然贝茨没有任何限制波动，波动率通常是非负的。

数据类型:双|function_handle

表示泊松过程强度(单位时间内平均跳数)的瞬时跳频(Nt)驱动跳跃模拟，指定为数组，时间的确定性函数，或时间和状态的确定性函数。

如果你指定JumpFreq作为数组，它必须是标量。

如果你指定JumpFreq作为时间的决定性函数，你调用JumpFreq用一个实数标量时间t作为它的唯一输入，它必须返回一个标量。

如果你指定JumpFreq作为时间和状态的函数，JumpFreq当你用两个输入调用它时必须返回一个标量:

  • 一个实值标量观测时间t

  • 一个2——- - - - - -1二元状态向量Xt

数据类型:双|function_handle

随机百分比跳跃大小的瞬时平均值J，其中log(1+J)正态分布，均值为(log(1+JumpMean) - 0.5 ×JumpVol2)和标准差JumpVol，指定为数组、时间的确定函数或时间和状态的确定函数。

如果你指定JumpMean作为数组，它必须是标量。

如果你指定JumpMean作为时间的决定性函数，你调用JumpMean用一个实数标量时间t作为它的唯一输入，它必须返回一个标量。

如果你指定JumpMean作为时间和状态的函数，JumpMean当你用两个输入调用它时必须返回一个标量:

  • 一个实值标量观测时间t

  • 一个2——- - - - - -1二元状态向量Xt

数据类型:双|function_handle

log(1+。)的瞬时标准差J)，指定为一个数组，时间的确定性函数，或时间和状态的确定性函数。

如果你指定JumpVol作为数组，它必须是标量。

如果你指定JumpVol作为时间的决定性函数，你调用JumpVol用一个实数标量时间t作为它的唯一输入，它必须返回一个标量。

如果你指定JumpVol作为时间和状态的函数，JumpVol当你用两个输入调用它时必须返回一个标量:

  • 一个实值标量观测时间t

  • 一个2——- - - - - -1二元状态向量Xt

数据类型:双|function_handle

属性

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第一次观测的开始时间，应用于所有状态变量，指定为标量。

数据类型:双

状态变量的初始值，指定为标量、列向量或矩阵。

如果StartState是标量，贝茨对所有试验的所有状态变量应用相同的初始值。

如果StartState是二元列向量，贝茨对所有试验的每个状态变量应用唯一的初始值。

如果StartState是一个矩阵，贝茨在每次试验中对每个状态变量应用唯一的初始值。

数据类型:双

绘制高斯随机变量之间的相关性以生成布朗运动向量(维纳过程)，指定为标量，a2——- - - - - -2正半定矩阵，或作为确定函数Ct它接受当前时间t并返回2——- - - - - -2正半定相关矩阵。如果相关不是对称正半定矩阵，用什么nearcorr为一个相关矩阵建立一个正的半定矩阵。

一个相关矩阵表示一个静态条件。

如果你指定相关作为时间的确定函数，相关允许您指定动态相关结构。

数据类型:双

此属性是只读的。

连续时间随机微分方程(SDEs)的漂移率分量，指定为漂移对象或函数，可由(t，Xt）.

漂移速率规范支持样本路径的模拟金宝app据nvar状态变量由NBrowns布朗运动危险源结束NPeriods连续观测周期，近似连续时间随机过程。

使用漂移创建函数漂移表单的对象

F （ t ， X t ） ＝ 一个 （ t ） + B （ t ） X t

在这里:

  • 一个是一个据nvar——- - - - - -1向量值函数可由(t，Xt)接口。

  • B是一个据nvar——- - - - - -据nvar矩阵值函数可由(t，Xt)接口。

显示的参数为a漂移对象。

  • 率-漂移率函数，F (t Xt）

  • 一个-截距项，X (t)t）的,F (t Xt）

  • B-一阶项，B (t) Xt）的,F (t Xt）

一个而且B支持查询原始输入。函数存储在率完全封装的组合效果一个而且B．

指定一个B因为MATLAB双数组清楚地将它们与线性漂移率参数形式联系起来。但是，指定任意一个一个或B作为一个函数，您可以自定义几乎任何漂移速率规范。

请注意

你可以表达漂移而且扩散对象的最一般形式，以强调功能(t，Xt)接口。但是，您可以指定组件一个而且B作为遵循公共(t，Xt)接口，或作为相应维数的MATLAB数组。

例子:F =漂移(0,0.1)%漂移率函数F(t,X)

数据类型:对象

此属性是只读的。

连续时间随机微分方程(SDEs)的扩散率分量，指定为a漂移对象或函数可通过(t，Xt）.

扩散速率规范支持对样品路径的模拟金宝app据nvar状态变量由NBrowns布朗运动危险源结束NPeriods近似连续时间随机过程的连续观测周期。

使用扩散创建函数扩散表单的对象

G （ t ， X t ） ＝ D （ t ， X t α （ t ） ） V （ t ）

在这里:

  • D是一个据nvar——- - - - - -据nvar对角矩阵值函数。

  • 的每个对角线元素D状态向量的对应元素是否被提升为指数的对应元素α，这是一个据nvar——- - - - - -1向量值函数。

  • V是一个据nvar——- - - - - -NBrowns矩阵值波动率函数σ．

  • α而且σ也可以使用(t，Xt)接口。

显示的参数为a扩散对象是:

  • 率-扩散速率函数，G (t, Xt）

  • α-状态矢量指数，它决定了的格式D (t) Xt）的G (t, Xt）

  • σ-波动率，V (t) Xt）的,G (t, Xt）

α而且σ支持查询原始输入。(个体的综合效果α而且σ参数完全封装在函数中率)。的率函数的计算引擎漂移而且扩散对象，并且是模拟所需的唯一参数。

请注意

你可以表达漂移而且扩散对象的最一般形式，以强调功能(t，Xt)接口。但是，您可以指定组件一个而且B作为遵循公共(t，Xt)接口，或作为相应维数的MATLAB数组。

例子:G =扩散(1,0.3)%扩散率函数G(t,X)

数据类型:对象

自定义仿真函数或SDE仿真方法，指定为函数或SDE仿真方法。

数据类型:function_handle

对象的功能

simByEuler 模拟贝茨欧拉近似的样本路径
simByQuadExp 模拟贝茨，赫斯顿,圆形的抽样路径采用二次指数离散方案
模拟 模拟多元随机微分方程(SDEs)钻，BM，“绿带运动”，CEV，圆形的，HWV，赫斯顿，SDEDDO，SDELD，SDEMRD，默顿,或贝茨模型
simByTransition 模拟贝茨具有过渡密度的样本路径

例子

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打开实时脚本

贝茨模型是双变量复合模型，由两个耦合且不同的单变量模型组成，每个模型由单个布朗运动风险源和单个复合泊松过程驱动，代表重要事件的到来NPeriods连续观察期。模拟近似连续时间贝茨随机波动过程。

创建一个贝茨对象。

资产价格= 80;Return = 0.03;JumpMean = 0.02;JumpVol = 0.08;JumpFreq = 0.1;V0 = 0.04;水平= 0.05;速度= 1.0;波动率= 0.2;Rho = -0.7; StartState = [AssetPrice;V0]; Correlation = [1 Rho;Rho 1]; batesObj = bates(Return, Speed, Level, Volatility,.．.JumpFreq, JumpMean, JumpVol，“startstate”StartState,.．.“相关”、相关)
batesObj =类BATES:贝茨双变量随机波动率--------------------------------------------------维度:状态= 2，布朗= 2 -------------------------------------------------- StartTime: 0 StartState: 2x1双阵列相关性:2x2双阵列漂移:漂移率函数F(t,X(t))扩散:扩散率函数G(t,X(t))模拟:模拟方法/函数simByEuler返回:0.03速度:1水平:0.05波动率:0.2 JumpFreq: 0.1 JumpMean: 0.02 JumpVol: 0.08

更多关于

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算法

贝茨模型(Bates 1996)是赫斯顿模型的扩展，不仅增加了随机波动率，而且还增加了默顿(1976)的跳跃扩散参数，以模拟突然的资产价格波动。

在风险中性测度下，模型表示如下

d 年代 t ＝ （ γ − 问 − λ p μ j ） 年代 t d t + υ t 年代 t d W t + J 年代 t d P t d υ t ＝ κ （ θ − υ t ） d t + σ υ υ t d W t υ E ［ d W t d W t υ ］ ＝ p d t 概率 （ d P t ＝ 1 ） ＝ λ p d t

在这里:

ᵞ为连续无风险利率。

问是连续股息收益率。

J随机百分比跳跃大小是否以跳跃发生为条件，在哪里

ln （ 1 + J ） ～ N （ ln (1 + u j ） − δ 2 2 ， δ 2

(1 +J)为对数正态分布:

1 （ 1 + J ） δ 2 π 经验值 ｛ − ［ ln （ 1 + J ） − （ ln (1 + μ j ） − δ 2 2 ］ 2 2 δ 2 ｝

在这里:

μj的均值J(μj> 1)。

ƛp泊松过程的年频率(强度)是多少Pt(ƛp≥0)。

υ是基础资产的初始方差(υ0> 0)。

θ为长期方差水平(θ > 0)。

κ是方差(κ > 0)的平均回归速度。

συ波动率的波动率(συ> 0)。

p韦纳过程之间的相关性是什么Wt而且Wtυ(1≤p≤1)。

“Feller条件”确保正方差:(2κθ > συ2）.

随机波动率和跳跃有助于更好地模拟不对称的细峰特征、波动微笑和大的随机波动，如崩溃和反弹。

参考文献

[1] Aït-Sahalia，雅辛。现货利率连续时间模型的检验财务研究检讨9日,没有。2(1996年4月):385-426。

[2] Aït-Sahalia，雅辛。利率和其他非线性扩散的过渡密度金融杂志54岁的没有。4 (aug 1999): 1361-95。

格拉瑟曼，保罗。金融工程中的蒙特卡罗方法．纽约:斯普林格出版社，2004年。

[4]赫尔，约翰·C。期权、期货和其他衍生品．第7版，普伦蒂斯出版社，2009年。

[5]约翰逊，诺曼·劳埃德，塞缪尔·科茨和纳拉亚纳斯瓦米·巴拉克里什南。连续单变量分布．第二版，概率与数理统计中的威利级数。纽约:Wiley, 1995年。

[6] Shreve, Steven E。金融随机演算．纽约:斯普林格出版社，2004年。

版本历史

R2020a中引入

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