用。解一个平方线性方程组pcg使用默认设置，然后调整解决方案流程中使用的容忍度和迭代次数。

创建一个随机对称稀疏矩阵一个．还要创建一个矢量b的行和一个右边的 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$这就是真正的解 $\mathit{x}$是一个1的向量。

rng默认的5 = sprand (400400);=“*;b =和(2);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用pcg．输出显示包括相对剩余误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$．

x = pcg (A, b);

PCG在迭代20时停止，没有收敛到期望的公差1e-06，因为已经达到了最大的迭代次数。返回的iterate(编号20)的相对残差为3.6e-06。

默认情况下pcg使用20次迭代和一个公差1 e-6，算法在这20次迭代中无法收敛。但是残差与容差很接近，所以算法可能只是需要更多的迭代才能收敛。

用容差再次解系统1 e -和150的迭代。

x = pcg (A, b, 1 e - 7150);

PCG在第129次迭代时收敛到一个相对残差为1e-07的解。

用下列方法检查使用预处理矩阵的效果pcg解线性方程组。

建立对称正定带状系数矩阵。

一个= delsq (numgrid (“年代”, 102));

定义b对于线性方程的右边 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

b = 1(大小(A, 1), 1);

设置容忍和最大迭代次数。

托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;

使用pcg在要求的容忍度和迭代次数下找到解决方案。指定五个输出以返回关于解决方案流程的信息:

[x, fl0 rr0, it0 rv0] = pcg (A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 0.0131

it0

it0 = 100

fl0是1因为pcg不收敛到要求的公差吗1 e-8在要求的100次迭代中。

为了帮助缓慢的收敛，你可以指定一个预处理矩阵。自一个是对称的,使用ichol生成预处理程序 $\mathit{米}＝\mathit{l}{\mathit{l}}^{\mathit{T}}$．通过指定来求解前置系统l和L '作为输入,pcg．

L = ichol(一个);(x1, fl1 rr1、it1 rv1] = pcg (A, b,托尔,麦克斯特,L, L ');fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 8.0992 e-09

it1

it1 = 79

an的使用ichol预处理剂产生的相对残留小于规定的耐受性1 e-8在第79次迭代中。输出rv1 (1)是规范(b)和rv1(结束)是规范(b * x1)．

现在,使用michol选项创建修改后的不完整Cholesky预调节器。

L = ichol(结构体(“michol”，“上”));(x2, fl2 rr2、it2 rv2] = pcg (A, b,托尔,麦克斯特,L, L ');fl2

fl2 = 0

rr2

rr2 = 9.9565 e-09

it2

it2 = 47

这个预调式比本例中系数矩阵填充为零的不完全Cholesky分解所产生的预调式要好，所以pcg能够更快地收敛。

你可以看到预处理函数是如何影响收敛速度的pcg通过绘制从初始估计(迭代数)开始的每个剩余历史0）.为指定的公差添加一行。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“o”) semilogy(0:长度(rv2) 1, rv2 /规范(b),“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有预调节器”，“默认ICHOL”，“修改ICHOL”，“宽容”，“位置”，“东”)包含(的迭代次数) ylabel (的相对剩余的)

检查供应的效果pcg对解有一个初步的猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$所以预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个1的向量。

n = 900;e =的(n - 1);A = spdiags([e 2*e e]，-1:1,n,n);b =和(2);

使用pcg来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对这两种解决方案使用200次迭代和默认容忍。金宝搏官方网站指定第二个解中的初始猜想为一个所有元素都等于的向量0.99．

麦克斯特= 200;x1 = pcg (A, b,[],麦克斯特);

PCG在第35次迭代时收敛到一个相对残差为9.5e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = pcg (A, b,[],麦克斯特[],[],x0);

PCG在迭代7时收敛到一个相对残差为8.7e-07的解。

在这种情况下，提供初始猜测是可行的pcg更快地聚合。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = pcg (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

通过提供解一个线性方程组pcg使用计算的函数句柄* x代替系数矩阵一个．

使用画廊生成一个20 × 20正定三对角矩阵。超对角线和次对角线都有一个，而主对角线元素从20倒数到1。预览矩阵。

n = 20;一个=画廊(“tridiag”的(n - 1, 1), n: 1:1,的(n - 1, - 1));完整的(一个)

ans =20×2020 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 19 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 18 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 16 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 14 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 13 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 12 1 0000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

因为这个三对角矩阵有一个特殊的结构，你可以表示这个操作* x使用函数句柄。当一个乘一个向量，得到的向量中的大多数元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素一个．而且，只有主对角线上有不等于1的非零。

表达式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$［\begin{array}{cccccccccc}20.& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 19& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 18& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 17& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 16& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 15& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 14& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 13& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 1\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］＝［\begin{array}{c}2{0\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+19{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+18{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{18}+2{\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\\ {\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$［\begin{array}{c}2{0\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+19{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+18{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{18}+2{\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\\ {\mathit{x}}_{19}+{\mathit{x}}_{20.}\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}\end{array}］+［\begin{array}{c}20.{\mathit{x}}_1\\ 19{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\\ 0\end{array}］$．

在MATLAB®中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而得到值* x：

函数Y = [0;x (19)) +．..[(20: 1:1)]。* x +．..[x(20分);0);结束

(这个函数在示例的最后保存为一个本地函数。)

现在，解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供pcg使用计算的函数句柄* x．使用公差1 e-12和50迭代。

1 b =(20日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 50;x1 = pcg (@afun, b,托尔,麦克斯特)

PCG在迭代20时收敛到一个相对残差为4.4e-16的解。

x1 =20×10.0476 0.0475 0.0500 0.0526 0.0555 0.0588 0.0625 0.0666 0.0714 0.0769⋮

检查afun (x1)产生一个1的向量。

afun (x1)

ans =20×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

函数Y = [0;x (19)) +．..[(20: 1:1)]。* x +．..[x(20分);0);结束