微分方程和线性代数,1.6:恒定速率的积分因子
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
积分因子e——繁殖的微分方程y ' = ay + q,给的导数e——y:准备集成。
好的。这是我们最后一次看你看到的一阶线性微分方程。dy dt是ay,银行的利率增长的例子。y是我们的总平衡。和q t是我们的存款或取款。
只有一个变化。我们允许利率随时间改变的。这之前我们没有看到。现在,我们将得到一个公式。这将是一个公式我们之前是恒定的。现在我们将会看到它。它看起来有点混乱,但关键是,这是可以做到的。我们可以解决方程的新方法。
这就是另一个点。最后每个人都喜欢这些综合因素。我将称之为m。让我告诉你它是什么和它是如何工作的。什么是零方程的解,一个负号。一个负号。dM / dt等于负的tM。无源项。我们可以解决这个方程。
如果是恒定的,我会保持这种情况下与简单,因为这是一个可识别的公式。如果是一个常数,我们正在寻找的M函数导数是-我。这是e的负功能。
的衍生品带来的-一个我们想要的。如果是不同,我们仍然可以解这个方程。它仍将是一个指数的-。但是我们必须把这里当我M,求导的导数,将下来。所以我希望这里的积分。的导数是一个负,积分下降。
所以我希望-积分的。和我可以引入虚拟变量,说一个T的dT,只是为了使符号看起来正确。好的。你会发现,M总是与一个指数的导数。这是总指数的指数倍的导数。和它的导数指数是-一个。因为通过微积分基本定理,如果积分和它的导数,我又得到一个。这就是我想要的。
现在,为什么我想要这个?它是如何工作的呢?这是米成功的原因。看看M * y的导数。这是一个产品。所以我将使用乘积法则。我得到y乘以M的导数,然后我得到的导数M * y,但M - a的tM的导数,所以我最好把M - a的导数的tM y。
但是我得到了什么呢?提出一个M dy dt - ay, dy dt - ay q。所以当我提出M,我只有问。都在一起,这是M乘以问。看,我的微分方程不能看起来更好。乘以M就告诉我们,导数是右边。为了解决这个方程,我们双方整合。
如果你允许我迈出这一步,整合双方,看看我有什么,这将给我们的公式我们知道当我们在恒定的情况下,我们从未见过当t公式是不同的。然后我会做一个例子。让我做一个例子。
假设一个t的,而不是常数,正在增长。经济是恶性通货膨胀。举个例子,如果一个t的,比方说,2 t。低利率开始移动,然后增长会越来越快随着时间的推移。和2 t的积分是什么?
的积分2 t t方,所以,在这种情况下,将e - t的平方。对不起,没有了。只是2 t。e - t的平方。一个负号,迅速下降。在一分钟内,我们将有一个加号,我们将看到增长。你看到这是积分因子(t)发生时2 t ?
好的。现在我回到这个方程和整合双方得到答案。好的。好吧。我的积分,导数,导数的积分是M t y (t - M 0 y为0。这是左边的积分。在右边,我的积分从0到t M乘以问。
再一次,我要把在一个集成变量不同t保持笔直。好的。现在我有一个公式y。它涉及到M .实际上,y乘以M,我最好除以——首先,我们记得M的0是什么吗?
生长因子在0。这只是1。但是什么也没有发生。的指数公式M M的0 0 = 1。这就是开始。所以M 0 = 1。我可以删除。
好的。现在,哦,让我把它另一方面这将= y (0) +。好的。现在如果我除以M,我有我的答案。所以这些步骤。发现积分因子。做积分,现在很容易,因为我有一个完美的导数的积分我只需要积分。然后放入M是什么,除以它,这样我得到y。
好的。所以我除以M . 1 / M是什么?好了,米有负号的指数。1 / M将有一个加号。M e - t方。1 / M e + t的平方。
所以当我除以M,我得到y (t)。这将是1 / M .将e + t的积分的dt y为0。这是零的解决方案。的解决方案,不断增长的y为0。现在我加上从0到t的积分——记住,我除以m e +积分从0到次问的年代ds。
好的。哦,请稍等。我除以M和我在那里一个M。哦,等一下。我没有在这里。所以我想知道什么是米时间秒除以M t时刻?这是积分从0到。这是一个从0到t积分。和两个指数。
这是,我可以在这里说吗?这是一个e,除以M积分从0到t。然后我乘以e的负的积分,从0到。指数的规则是如果我有一个两个指数的乘积,我指数相加。当我添加这个,这个打掉的下半部分积分。我剩下s t的积分。
这是一个负的积分的积分,我用我们的例子。我们的示例。例子——M t将当t = 2,这是等于2 t的例子。第一次我们已经能够应对不同的利率。所以的积分2 t t方。从e t方。我减去下限,s²。生长因子。
不时的生长因子s t。当一个常数,指数只是一个次t - s。这告诉我们时间。但是现在,之间的不同,生长因子s和t e t方- s²。这就是在这里。让我——这是生长因子。
我可以把它在这里吗?在这个例子中,e t方- s²。e / t - s,而是我现在有t方- s²,因为我有一个完整的(t)和一个不再是常数。这是我的例子。我不知道如果你喜欢这个公式。我只是能描述一遍吗?
这是一个从0到t积分,所以这将是,这一部分将e t方。生长因子,增加初始存款。繁殖后存款的生长因子e t方- s²。我们允许存款从s = 0 t。当我们把这些加起来,总和我们得到。
我们已经解决了一个方程,我们之前没有能够解决。这是微分方程的一个小胜利。小,不可否认。我宁愿把旁边的非线性方程,我们没有感动。这是一个大问题。谢谢你!
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