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什么是多项式模型?

多项式模型结构

多项式模型使用传递函数的广义概念来表示输入，u（t),输出y（t)，还有噪音e（t)使用公式:

$一个（问） y （ t ）＝ \sum_{我＝ 1}^{n u} \frac{B_{我} （问）}{F_{我} （问）} u_{我} （ t - n k_{我} ） + \frac{C （问）}{D （问）} e （ t ）$

的变量一个,B,C,D,F多项式是用时移算子表示的吗问^ 1．u_我是我th输入,ν是输入的总数，和nk_我是我表示传输延迟的输入延迟。白噪声的方差e (t)被假定为 $λ$ ．有关时移运算符的详细信息，请参见理解时移算子q．

在实践中，并不是所有的多项式都同时活跃。通常使用更简单的形式，如ARX、ARMAX、Output-Error和Box-Jenkins。你也可以选择在噪声源中引入一个积分器，这样一般模型的形式为:

$一个（问） y （ t ）＝ \sum_{我＝ 1}^{n u} \frac{B_{我} （问）}{F_{我} （问）} u_{我} （ t - n k_{我} ） + \frac{C （问）}{D （问）} \frac{1}{1 - 问^{- 1}} e （ t ）$

有关更多信息，请参见多项式模型的不同配置．

您可以使用时域或频域数据估计多项式模型。

为了进行估计，您必须指定模型秩序作为一组整数，代表每个多项式的系数的数目，你包括在你选择的结构-na为一个,注为B,数控为C,nd为D,nf为F．您还必须指定样本的数量nk对应于输入延迟-死时间-由输出响应输入之前的样本数给出。

分母多项式的系数数等于极点数，分子多项式的系数数等于零的个数加1。当动力来自u (t)来y (t)包含延迟nk样品，然后第一nk系数B为零。

有关传递函数模型族的更多信息，请参见系统识别:用户的理论，第二版，Lennart Ljung, Prentice Hall PTR, 1999。

理解时移算子q

一般的多项式方程是用时移算子表示的问¹．为了理解这个时移算子，考虑以下离散时间差分方程:

$\begin{array}{l} y （ t ） + {一个}_{1} y （ t - T ） + {一个}_{2} y （ t - 2 T ）＝ \\ b_{1} u （ t - T ） + b_{2} u （ t - 2 T ） \end{array}$

在哪里y (t)是输出,u (t)是输入，和T为采样时间。问^－1是否有一个时移算符可以简洁地表示这样的差分方程 $问^{- 1} u （ t ）＝ u （ t - T ）$ ：

$\begin{array}{l} y （ t ） + {一个}_{1} 问^{- 1} y （ t ） + {一个}_{2} 问^{- 2} y （ t ）＝ \\ b_{1} 问^{- 1} u （ t ） + b_{2} 问^{- 2} u （ t ） \\ 或 \\ 一个（问） y （ t ）＝ B （问） u （ t ） \end{array}$

在这种情况下, $一个（问）＝ 1 + {一个}_{1} 问^{- 1} + {一个}_{2} 问^{- 2}$ 和 $B （问）＝ b_{1} 问^{- 1} + b_{2} 问^{- 2}$ ．

请注意

这问description完全等价于z变换形式:问对应于z．

多项式模型的不同配置

这些模型结构是下列一般多项式方程的子集:

$一个（问） y （ t ）＝ \sum_{我＝ 1}^{n u} \frac{B_{我} （问）}{F_{我} （问）} u_{我} （ t - n k_{我} ） + \frac{C （问）}{D （问）} e （ t ）$

模型结构的不同在于结构中包含了多少个多项式。因此，不同的模型结构为动力学和噪声特性的建模提供了不同程度的灵活性。

下表总结了系统识别工具箱™产品支持的常见线性多项式模型结构。金宝app如果您的应用程序有一个特定的结构，您可以决定动态和噪声是否有共同的极点或不同的极点。(问)对应于动态模型和噪声模型中常见的极点。当扰动从输入处进入系统时，对动力学和噪声使用共极是有用的。F_我确定系统动力学中唯一的极点D确定扰动的唯一极点。

模型结构	方程	描述
ARX	$一个（问） y （ t ）＝ \sum_{我＝ 1}^{n u} B_{我} （问） u_{我} （ t - n k_{我} ） + e （ t ）$	噪声模型为 $\frac{1}{一个}$ 噪声耦合到动力学模型中。ARX不允许您独立建模噪声和动态。估计一个ARX模型，以获得一个简单的模型在良好的信噪比。
ARIX	$一个 y ＝ B u + \frac{1}{1 - 问^{- 1}} e$	扩展了ARX结构，在噪声源中加入了积分器，e（t）.这在扰动不是静止的情况下是有用的。
ARMAX	$一个（问） y （ t ）＝ \sum_{我＝ 1}^{n u} B_{我} （问） u_{我} （ t - n k_{我} ） + C （问） e （ t ）$	扩展了ARX结构，为噪声建模提供了更多的灵活性C参数(白噪声的移动平均)。当主要扰动进入输入时使用ARMAX。这种扰动被称为负载扰动．
ARIMAX	$一个 y ＝ B u + C \frac{1}{1 - 问^{- 1}} e$	扩展了ARMAX结构，在噪声源中加入了积分器，e（t）.这在扰动不是静止的情况下是有用的。
Box-Jenkins (BJ)	$y （ t ）＝ \sum_{我＝ 1}^{n u} \frac{B_{我} （问）}{F_{我} （问）} u_{我} （ t - n k_{我} ） + \frac{C （问）}{D （问）} e （ t ）$	使用有理多项式函数为动力学和噪声提供完全独立的参数化。当噪声不在输入处输入，但主要是测量干扰时，使用BJ模型。这种结构为噪声建模提供了额外的灵活性。
输出误差(OE)	$y （ t ）＝ \sum_{我＝ 1}^{n u} \frac{B_{我} （问）}{F_{我} （问）} u_{我} （ t - n k_{我} ） + e （ t ）$	当您想要参数化动态，但不想估计噪声模型时使用。请注意在这种情况下，噪声模型是 $H ＝ 1$ 在一般方程和白噪声源e (t)只影响输出。

多项式模型可以包含一个或多个输出和零或多个输入。

系统识别应用程序支持直接估计ARX, ARMAX, OE和B金宝appJ模型。你可以在ARX, ARMAX和BJ表单中添加一个噪声积分器。但是，你可以使用聚估计一般方程中所有五个多项式或多项式的任意子集。有关使用pem的更多信息，请参见用聚醚估计多项式模型．

多项式模型的连续时间表示

在连续时间中，一般的频域方程是用拉普拉斯变换变量表示的年代，对应于一个微分运算:

$一个（年代） Y （年代）＝ \frac{B （年代）}{F （年代）} U （年代） + \frac{C （年代）}{D （年代）} E （年代）$

在连续时间的情况下，潜在的时域模型是一个微分方程，模型的阶整数表示估计的分子和分母系数的数目。例如,n_一个= 3,n_b=2对应的模型如下:

$\begin{array}{l} 一个（年代）＝ {年代}^{4} + {一个}_{1} {年代}^{3.} + {一个}_{2} {年代}^{2} + {一个}_{3.} \\ B （年代）＝ b_{1} 年代 + b_{2} \end{array}$

你只能直接使用连续时间频域数据估计连续时间多项式模型。在本例中，必须设置Ts属性设置为0，以指示您拥有连续时间频域数据，并使用oe命令估计输出误差多项式模型。其他结构如ARMAX或BJ的连续时间模型无法估计。你只能通过直接构造(使用idpoly)，从其他模型类型转换，或通过将离散时间模型转换为连续时间模型(d2c）.注意，OE表格表示一个传递函数，表示为分子(B)和分母(F)多项式。对于这种形式，考虑使用传递函数模型，表示为idtf模型。您可以使用时域和频域数据来估计传递函数模型。除了分子和分母多项式之外，您还可以估计传输延迟。看到idtf和特遣部队为更多的信息。

多输出多项式模型

对于具有的MIMO多项式模型纽约输出和ν输入，输入和输出之间的关系l^th输出可以写成:

$\sum_{j ＝ 1}^{n y} {一个}_{l j} （问） y_{j} （ t ）＝ \sum_{我＝ 1}^{n u} \frac{B_{l 我} （问）}{F_{l 我} （问）} u_{我} （ t - n k_{我} ） + \frac{C_{l} （问）}{D_{l} （问）} e_{l} （ t ）$

的一个多项式阵列(一个_ij；我= 1:纽约,j= 1:纽约)存储在一个财产的idpoly对象。对角多项式(一个₂；我= 1:纽约)为monic，即前导系数为1。非对角多项式(一个_ij；我≠j)包含至少一个样本的延迟，即它们从零开始。有关多输出模型的订单的详细信息，请参见多输出多项式模型的多项式大小和阶数．