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带有ARIMA误差的回归模型的截距可识别性

截距可识别性

具有ARIMA误差的回归模型具有以下一般形式(t= 1,…,T）

y t ＝ c + X t β + u t 一个 （ l ） 一个 （ l ） （ 1 − l ） D （ 1 − l 年代 ） u t ＝ b （ l ） B （ l ） ε t ， (1)
在哪里

  • t= 1,…,T．

  • yt是响应级数。

  • Xt是行t的X，为预测器数据向量的拼接矩阵。也就是说,Xt是观察t每个预测序列。

  • c为回归模型截距。

  • β是回归系数。

  • ut是扰动级数。

  • εt就是创新系列。

  • l j y t ＝ y t − j ．

  • 一个 （ l ） ＝ （ 1 − 一个 1 l − .．. − 一个 p l p ） ， 也就是度p，非季节自回归多项式。

  • 一个 （ l ） ＝ （ 1 − 一个 1 l − .．. − 一个 p 年代 l p 年代 ） ， 也就是度p年代，季节自回归多项式。

  • （ 1 − l ） D ， 也就是度D，非季节积分多项式。

  • （ 1 − l 年代 ） ， 也就是度年代，季节积分多项式。

  • b （ l ） ＝ （ 1 + b 1 l + .．. + b 问 l 问 ） ， 也就是度问，非季节性移动平均多项式。

  • B （ l ） ＝ （ 1 + B 1 l + .．. + B 问 年代 l 问 年代 ） ， 也就是度问年代，季节移动平均多项式。

  • 如果你指定了D＝年代= 0(即不表示季节性或非季节性集成)，则每个参数都是可识别的。换句话说，在给定数据的情况下，似然目标函数对参数的变化很敏感。

  • 如果你指定了D> 0或年代> 0，你想估计截距，c,然后c不可识别。

你可以证明这是正确的。

  • 考虑方程1．解出ut把它代入第一个方程。

    y t ＝ c + X t β + Η − 1 （ l ） Ν （ l ） ε t ，

    在哪里

    • Η （ l ） ＝ 一个 （ l ） （ 1 − l ） D 一个 （ l ） （ 1 − l 年代 ） ．

    • Ν （ l ） ＝ b （ l ） B （ l ） ．

  • 似然函数是基于的分布εt．解出εt．

    ε t ＝ Ν − 1 （ l ） Η （ l ） y t + Ν − 1 （ l ） Η （ l ） c + Ν − 1 （ l ） Η （ l ） X t β ．

  • 请注意,ljc＝c．常数项对似然的贡献如下。

    Ν − 1 （ l ） Η （ l ） c ＝ Ν − 1 （ l ） 一个 （ l ） 一个 （ l ） （ 1 − l ） D （ 1 − l 年代 ） c ＝ Ν − 1 （ l ） 一个 （ l ） 一个 （ l ） （ 1 − l ） D （ c − c ） ＝ 0

    或

    Ν − 1 （ l ） Η （ l ） c ＝ Ν − 1 （ l ） 一个 （ l ） 一个 （ l ） （ 1 − l 年代 ） （ 1 − l ） D c ＝ Ν − 1 （ l ） 一个 （ l ） 一个 （ l ） （ 1 − l 年代 ） （ 1 − l ） D − 1 （ 1 − l ） c ＝ Ν − 1 （ l ） 一个 （ l ） 一个 （ l ） （ 1 − l 年代 ） （ 1 − l ） D − 1 （ c − c ） ＝ 0.

因此，在对ARIMA误差模型进行积分时，基于分布的似然目标函数εt的值不变吗c．

一般来说，具有ARIMA误差的回归模型的等效armax表示中的有效常数是复合自回归系数和原始截距的函数c，并加入非线性约束。这种约束被无缝地整合到应用程序中，例如具有非零截距的集成模型的蒙特卡罗模拟。然而，对于估计，ARIMAX模型无法识别存在积分多项式的常数，这导致虚假或不寻常的参数估计。

在大多数应用程序中，您应该从集成模型中排除拦截。

拦截可识别性说明

举例来说，考虑没有预测因子的ARIMA(2,1,1)误差的回归模型

y t ＝ 0．5 + u t （ 1 − 0.8 l + 0.4 l 2 ） （ 1 − l ） u t ＝ （ 1 + 0.3 l ） ε t ， （2）
或
y t ＝ 0．5 + u t （ 1 − 1.8 l + 1．2 l 2 − 0.4 l 3. ） u t ＝ （ 1 + 0.3 l ） ε t ． （3）

你可以重写方程3使用代换和一些操作

y t ＝ （ 1 − 1.8 + 1．2 − 0.4 ） 0．5 + 1.8 y t − 1 − 1．2 y t − 2 + 0.4 y t − 3. + ε t + 0.3 ε t − 1 ．

请注意,

（ 1 − 1.8 + 1．2 − 0.4 ） 0．5 ＝ 0 （ 0．5 ） ＝ 0.

因此，该回归模型具有ARIMA(2,1,1)误差方程3有一个ARIMA(2,1,1)模型表示

y t ＝ 1.8 y t − 1 − 1．2 y t − 2 + 0.4 y t − 3. + ε t + 0.3 ε t − 1 ．

您可以看到，该常数在模型中不存在(这意味着它的值为0)，即使具有ARIMA误差截距的回归模型的值为0.5。

您还可以模拟这种行为。首先指定带有ARIMA(2,1,1)误差的回归模型方程3．

Mdl0 = regARIMA(' D ', 1基于“增大化现实”技术的{0.8 - -0.4},“马”, 0.3,.．.“拦截”, 0.5,“方差”, 0.2);

模拟1000个观察结果。

rng (1);T = 1000;y =模拟(Mdl0, T);

适合Mdl对数据。

Mdl = regARIMA(“ARLags”1:2,“MALags”, 1' D '1);.．.%“空”模型传递到估计中[EstMdl,EstParamCov] =估计(Mdl,y，“显示”，“参数”）;
警告:集成ARIMA误差模型时，截距不可识别，无法估计;返回一个NaN。
ARIMA(2,1,1)误差模型(Gaussian分布):Value StandardError TStatistic PValue ________ _____________ __________ ___________ Intercept NaN NaN NaN NaN AR{1} 0.89647 0.048507 18.481 2.9207e-76 AR{2} -0.45102 0.038916 -11.59 4.6572e-31 MA{1} 0.18804 0.054505 3.4499 0.00056069 Variance 0.19789 0.0083512 23.696 3.9373e-124

估计显示一个警告，通知您无法识别截获点，并设置其估计值、标准误差和t统计,南．

绘制截距的轮廓可能性。

c = linspace(Mdl0。截距- 50，.．.Mdl0。截距+ 50,100);%网格拦截logL = nan(数字(c)，1);预分配百分比为i = 1:数字(logL) EstMdl。截距= c(i);[~，~，~，logL(i)] = infer(EstMdl,y);结束图(c,logL)“与拦截有关的剖面对数可能性”)包含(“拦截”) ylabel (“Loglikelihood”）

图中包含一个轴对象。标题为Profile Log-Likelihood with The Intercept的axes对象包含一个line类型的对象。

对数似然在截距值的网格上不改变。轻微的振荡是一个数值程序的结果推断出．

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