旋转，方向和四元数

开放脚本

这个例子回顾概念，三维旋转和四元如何被用来描述取向和旋转。四元数超复数的倾斜场。他们发现，在航空航天，计算机图形学和虚拟现实应用。在MATLAB®，四元数数学可以通过操纵来表示四元数班级。

这个HelperDrawRotation类用于说明此示例的几个部分。

dr=helperdraw旋转；

在三个维度的旋转

所有三维旋转都可以由旋转轴和绕旋转轴旋转的角度来定义。考虑最左边的图中一个茶壶的三维图像。茶壶在第二个图中围绕z轴旋转45度。在第三张图中显示了一个更复杂的绕轴[1 0 1]旋转15度。四元数封装了轴和旋转角度，并有一个操作这些旋转的代数。这个四元数类，而这个例子中，用“右手法则”公约定义旋转。即，从原点观察时正旋转是顺时针方向绕旋转轴线。

Drawteapotions博士；

点旋转

茶壶的顶点围绕参考系的旋转轴旋转，考虑一个点（0.7，0.5）绕Z轴旋转30度。

数字;dr.draw2DPointRotation（GCA）;

框架旋转

从某种意义上说，帧旋转与点旋转相反。在帧旋转中，对象的点保持固定，但参考帧旋转。再次，考虑点（0.7，0.5）。现在，参照系绕Z轴旋转30度。请注意，虽然点（0.7,0.5）保持固定，但它在新的旋转参照系中具有不同的坐标。

图形博士（gca）；

方向

取向是指物体相对于参考的帧的的角位移。典型地，取向由引起从起始取向这个角位移的旋转说明。在此示例中，取向被定义为发生在母参考帧中的量，以一个子帧参考的旋转。取向通常被给定为一个四元数，旋转矩阵，设置欧拉角，或者旋转矢量。孩子参照系是相对父框架旋转：考虑定向框架的旋转是有用的。

考虑一个例子，其中子参考帧围绕矢量[1/3，2/3，2/3 ]旋转30度。

数字;dr.draw3DOrientation（GCA，[1/3 2/3 2/3]，30）;

四元数

四元数是这种形式的数

$a+b\textbf{i}+c\textbf{j}+d\textbf{k}$

在哪里

$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$

和 $ A，B，C，$ 和 $ d $ 是实数。在这个例子中的休息，四位数字和 $ d $ 被称为部分四元数的一种形式。

用于旋转和方向的四元数

轴和旋转角度被封装在四元数部分中。为单位矢量旋转轴[x,Y,Z]，和旋转角度 $$ \ $阿尔法$ ，描述此旋转的四元数为

$$ \因为\离开(\压裂{\α}{2}\右)+ & # xA;罪\ \离开(\压裂{\α}{2}\)\离开(x \ textbf{我}+ y \ textbf {j} & # xA; + z \ textbf {k} \右)$$

注意，要用四元数来描述旋转，四元数必须是单位四元数．单位四元数的范数为1，范数定义为

$范数（Q）= \ SQRT {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 + d ^ 2}$

在MATLAB中有多种构造四元数的方法，例如:

q1=四元数（1,2,3,4）

Q1 =四元数1 + 2I + 3J + 4K

四元数数组的制作方法相同：

四元数([1 10;-1 1]， [2 20;-2 2]， [3 30;-3 3]， [4 40;4 4])

Ans = 2x2四元数数组1 + 2i + 3j + 4k 10 + 20i + 30j + 40k -1 - 2i - 3j - 4k 1 + 2i + 3j + 4k

有四列的数组也可以用来构造四元数，每一列表示四元数的一部分:

qmgk=四元数（魔法（4））

qmgk = 4×1四元阵列16 + 2I + 3J + 13K 5 + 11i的+ 10J + 8K 9 + 7I + 6J + 12K 4 + 1141 + 15J + 1K

四元数可以被索引和操作就像任何其他阵列：

qmgk（3）

ANS =四元数9 + 7I + 6J + 12K

重塑（qmgk，2,2）

Ans = 2x2四元数数组16 + 2i + 3j + 13k 9 + 7i + 6j + 12k 5 + 11i + 10j + 8k 4 + 14i + 15j + 1k

[q1；q1]

Ans = 2x1四元数数组1 + 2i + 3j + 4k 1 + 2i + 3j + 4k

四元数数学

四元数具有定义良好的算术运算。加法和减法类似于复数：部分是独立加/减的。由于前面的等式，乘法更为复杂：

$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$

这意味着四元数的乘法是不可交换的。也就是说, $PQ \ NEQ QP$ 对于四元 $p$ 和 $q$ ．然而，每一个四元数具有乘法逆，所以四元数可以划分。的数组四元数类可以在MATLAB中进行加、减、乘和除。

Q =四元数（1,2,3,4）;P =四元数（-5,6，-7,8-）;

除了

p+q

ans=四元数-4+8i-4j+12k

减法

p-q

ans=四元数-6+4i-10j+4k

乘法

p *

ans=四元数-28-56i-30j+20k

按相反顺序乘法（注意不同的结果）

q * p

Ans =四元数-28 + 48i - 14j - 44k

权划分P通过Q相当于 $美元$ p (^ {1})$ ．

p、 /q

ANS =四元数0.6 + 2.2667i + 0.53333j  -  0.13333k

左部Q通过P相当于 $p^{-1}q$ ．

p。\问

Ans =四元数0.10345 + 0.2069i + 0j - 0.34483k

四元数的共轭是通过对每个非实数部分求反形成的，类似于复数的共轭：

缀（p）的

Ans =四元数-5 - 6i + 7j - 8k

四元数可以在MATLAB中标准化：

pnormed=标准化（p）

pnormmed =四元数-0.37905 + 0.45486i - 0.53067j + 0.60648k

标准（pnormed）

ans = 1

具有四元数的点和帧旋转

四元数可以用来旋转点在参考静态帧，或以旋转的参考自身的帧。这个旋转点函数旋转一个点 $v = (v_x, v_y, v_z)$ 使用四元数q通过下列方程:

$$ p v_ p{皮疹}^ * $$

在哪里 $v_{quat}$ 是

$V_ {季铵盐} = 0 + v_x \ textbf {I} + v_y \ textbf {Ĵ} + v_z \ textbf {K}$

和 $p^*$ 表示四元数共轭。请注意，上面的四元数乘法结果是四元数的实部， $ a $ ，等于0。这个 $ b $ , $ C $ , $ d $ 部分结果形成旋转点( $ b $ , $ C $ , $ d $ ).

考虑上面的点旋转的例子。点(0.7,0.5)绕z轴旋转30度。在三维空间中，这个点的z坐标为0z。使用轴-角公式，可以用[0 0 1]作为旋转轴构造四元数。

ang=deg2rad（30）；q=四元数（cos（ang/2），0，0，sin（ang/2））；pt=[0.7,0.5,0]；% z坐标在X-Y平面上为0ptrot = rotatepoint（Q，PT）

ptrot=0.3562 0.7830 0

同样地rotateframe函数取四元数 $q$ 和点五美元计算

$P 1 * V_ {季铵盐} p$

再次上述四元数相乘的结果以四元数与0实部。这（ $ b $ , $ C $ , $ d $ )结果的一部分构成点的坐标五美元在新的旋转的参考系中。使用四元数班级：

Ptframerot = rotateframe(q, pt)

ptframerot = 0.8562 0.0830 0

由于点和帧旋转方程的对称性，四元数及其共轭具有相反的效果。通过共轭旋转“撤消”旋转。

rotateframe（缀（q）中，ptframerot）

ANS = 0.7000 0.5000 0

由于方程的对称性，这段代码执行相同的旋转。

旋转点（q，ptframerot）

ANS = 0.7000 0.5000 0

其他旋转表示

常旋转和取向使用替代来描述：欧拉角，旋转矩阵，和/或旋转矢量。所有这些互操作在MATLAB四元数。

欧拉角被频繁使用，因为它们很容易解释。考虑的参考框架旋转了绕Z轴30度，然后绕Y轴20度，然后-50绕X轴度。这里注意，并在整个围绕各轴的旋转是固有的：每个随后的旋转是围绕所述新创建的组轴。换句话说，第二旋转是围绕“新的” Y轴由所述第一旋转所产生，而不是周围的原始Y轴。

数字;euld = [30 20 -50]。dr.drawEulerRotation（GCA，euld）;

为了建立从这些欧拉角为框架旋转的目的，四元数，使用四元数构造函数。因为旋转的顺序是先绕z轴旋转，然后绕新的y轴旋转，最后绕新的x轴旋转，所以使用“ZYX”旗帜。

qeul =四元数(函数(euld),“欧拉”,“ZYX”,“框架”)

qeul=四元数0.84313-0.44275i+0.044296j+0.30189k

这个“欧拉”标志指示第一个参数以弧度为单位。如果参数是度数，则使用“欧勒德”旗帜。

qeuld=四元数（euld，“欧勒德”,“ZYX”,“框架”)

qeuld=四元数0.84313-0.44275i+0.044296j+0.30189k

要转换回Euler角度，请执行以下操作：

rad2deg（欧拉（qeul，“ZYX”,“框架”))

Ans = 30.000 20.0000 -50.000

同样,欧勒德方法可以使用。

eulerd（qeul，“ZYX”,“框架”)

Ans = 30.000 20.0000 -50.000

或者，相同的旋转可以表示为旋转矩阵：

rmat=rotmat（qeul，“框架”)

RMAT = 0.8138 0.4698 -0.3420 -0.5483 0.4257 -0.7198 -0.1926 0.7733 0.6040

转换回四元数的过程类似：

四元数(rmat'rotmat',“框架”)

Ans =四元数0.84313 - 0.44275i + 0.044296j + 0.30189k

就像四元数可以用于点或帧旋转一样，它也可以转换为用于点或帧旋转的旋转矩阵(或欧拉角集)。点旋转的旋转矩阵是坐标系旋转的转置矩阵。要在旋转表示之间进行转换，必须指定'观点'或“框架”．

对于本实施例的点旋转部的旋转矩阵为：

rotmatPoint=rotmat（q，'观点')

旋转点=0.8660-0.5000 0.5000 0.8660 0 0 1.0000

为了找到旋转点的位置，正确的乘旋转点通过转置阵pt．

rotmatPoint * (pt)

ans=0.3562 0.7830 0

对于本实施例的框架旋转部的旋转矩阵为：

rotmatFrame=rotmat（q，“框架”)

rotmatFrame = 0.8660 0.5000 0 -0.5000 0.8660 0 0 0 1.0000

为了找到该点的位置在旋转参考系中，右乘rotmatFrame通过转置阵pt．

旋转框架*（pt'）

ANS = 0.8562 0.0830 0

旋转向量是一种替代的、紧凑的旋转封装。旋转向量只是一个三元素向量，表示单位长度的旋转轴，该旋转轴按旋转角度（弧度）放大。旋转向量没有与帧度或点度相关的属性。要转换为旋转向量，请执行以下操作：

rv=rotvec（qeul）

rv=-0.9349 0.0935 0.6375

要转换为四元数：

四元数（rv，'rotvec')

Ans =四元数0.84313 - 0.44275i + 0.044296j + 0.30189k

距离

四元数比欧拉角的一个优点是没有不连续。欧拉角有不连续点，它的变化取决于所使用的惯例。这个经销函数通过两个不同的四元数比较旋转的效果。结果是一个介于0到0之间的数字π．考虑从欧拉角建造两个四元：

eul1=[0,10,0]；eul2=[0,15,0]；qdist1=四元数（deg2rad（eul1），“欧拉”,“ZYX”,“框架”)；qdist2=四元数（deg2rad（eul2），“欧拉”,“ZYX”,“框架”）;

减去欧拉角，你可以看到没有绕z轴或x轴旋转。

eul2——eul1

ans=0 5 0

这两个旋转之间的差是绕y轴5度。这个经销这也显示了差异。

rad2deg (dist (qdist1 qdist2))

ans=5.0000

为欧拉角如eul1和eul2中，计算的角距离是微不足道的。一个更复杂的例子中，其跨越的欧拉角的不连续，是：

eul3=[0,89,0]；eul4=[180,89,180]；qdist3=四元数（deg2rad（eul3），“欧拉”,“ZYX”,“框架”）;qdist4 =四元数(函数(eul4),“欧拉”,“ZYX”,“框架”）;

虽然eul3和eul4表示几乎相同的方向，简单的欧拉角减法给人的印象是这两个方向相距很远。

Euldiff = eul4 - eul3

euldiff=180 0 180

使用经销在四元数表明，只有在这些旋转两度差函数：

euldist=rad2deg（区（qdist3，qdist4））

euldist=2.0000

四元数和它的负数表示相同的旋转。这在减去四元数时并不明显，但是经销功能使得它清除。

qpos=四元数（-cos（pi/4），0，0，sin（pi/4））

qpos=四元数-0.70711+0i+0j+0.70711k

qneg=-qpos

qneg=四元数0.70711+0i+0j-0.70711k

qdiff=qpos-qneg

qdiff=四元数-1.4142+0i+0j+1.4142k

dist (qpo qneg)

ANS = 0

金宝app支持功能

这个四元数类可以有效地在MATLAB中描述旋转和方向。函数可以找到四元数支持的函数的完整列表金宝app方法功能：

方法（“四元数”)

类四元数的方法:角度ismatrix prod cat四元数类隐含的isrow rdivide compact isscalar reconj isvector rotateframe ctranspose ldivide rotatepoint disp length rotmat dist log rotvec double meanrot rotvecd eq - single euler mtimes size eulerd slerp ne times horzcat范数转置iscolumn normalize uminus isempty nummelvalidateattributes isequal parts vertcat isequaln permute isfinite plus isinf power静态方法:1 0