带非线性约束的代理优化

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这个例子展示了如何在代理优化中包含非线性不等式约束。这个例子解决了一个带有非线性约束的ODE。这个例子并行优化ODE演示如何使用接受非线性约束的其他求解器解决相同的问题。

有关此示例的视频概述，请参阅代理优化．

问题描述

问题是改变大炮的位置和角度尽可能超出墙壁射击射弹。大炮的枪口速度为300米/秒。墙壁高20米。如果大炮太靠近墙壁，它会在陡峭的角度下射击，射弹不会足够远。如果大炮离墙太远，则射弹不会足够远。

非线性空气阻力使弹丸减速。阻力与速度的平方成正比，比例常数为0.02。重力作用于抛射体，使其以恒定的9.81 m/s^2向下加速。因此，运动方程为轨迹x（t）是

$\frac{d^{2} x （ t ）}{d t^{2}} ＝ - 0 ． 02 为 v （ t ）为 v （ t ） - （ 0 ， 9 ． 81 ），$

在哪里 $v （ t ）＝ d x （ t ） / d t$ ．

初始位置x0和初始速度xp0是二维向量。然而，初始高度x0 (2)是0，那么初始位置是由标量给出的x0 (1)．初始速度的大小为300(初速)，因此，只取决于初始角度，这是一个标量。对于初始角度th，初速度为xp0 = 300 * (cos (th), sin (th))．因此，优化问题仅取决于两个标量，使其成为2-D问题。使用水平距离和初始角度作为决策变量。

制定ODE模型

ODE解算器要求你将模型表述为一阶系统。增广轨迹矢量 $（ x_{1} （ t ）， x_{2} （ t ））$ 随着时间的推移 $（ x_{1} ” （ t ）， x_{2} ” （ t ））$ 形成一个4维轨迹矢量。用增广向量表示，微分方程变成

$\frac{d}{dt} x （ t ）＝［ \begin{array}{c} x_{3.} （ t ） \\ x_{4} （ t ） \\ - 0 ． 02 为（ x_{3.} （ t ）， x_{4} （ t ））为 x_{3.} （ t ） \\ - 0 ． 02 为（ x_{3.} （ t ）， x_{4} （ t ））为 x_{4} （ t ） - 9 ． 81 \end{array} ］．$

的cannonshot文件实现了这个微分方程。

类型cannonshot

函数f = cannonshot (~ x) f = [x (3), (4); x (3); x (4)];%初始，得到f(1)和f(2)正确的NRM = norm(x(3:4)) * .02;速度的%范数乘以常数f(3) = -x(3)*nrm;f(4) = -x(4)*nrm - 9.81;%的垂直加速度

想象这个ODE的解，从距离墙30米开始，初始角度为PI / 3.．的plotcannonsolution功能使用ODE45.来解微分方程。

类型plotcannonsolution

函数dist = plotcannonsolution（x）％更改初始2-d点x至4-d x0 x0 = [x（1）; 0; 300 * cos（x（2））; 300 * sin（x（2））];sol = ode45（@cannonshot，[0,15]，x0）;％找到射弹土地zerofnd = fzero（@（r）deval（sol，r，2），[sol.x（2），sol.x（端）]）;t = linspace（0，zerofnd）;Plot Xs = Deval（Sol，T，1）％相等时间;％内插x值ys = deval（sol，t，2）;％插值的y值图（xs，ys）在绘图上保持（[0,0]，[0,20]，'k'）％绘制墙xlabel（'水平距离'）ylabel（'轨迹高度'）ylim（[0 100]）图例（'轨迹'，'墙'，'位置'，'nw'）dist = xs（结束）;标题（Sprintf（'距离％f'，dist））支撑

plotcannonsolution用途Fzero.要查找射弹土地的时间，意味着它的高度为0.射弹在时间之前15秒，所以plotcannonsolution使用15作为颂歌解决方案的时间量。

x0 =(-30;π/ 3);dist = plotcannonsolution (x0);

图中包含一个轴。标题为Distance 76.750599的轴包含两个line类型的对象。这些物体代表轨迹，墙。

准备优化

为了优化初始位置和角度，编写一个类似于前面的绘图程序的函数。计算从任意水平位置和初始角度开始的轨迹。

包括合理的约束。水平位置不能大于0。设上界为-1。同样，水平位置也不能低于-200，因此设置-200的下界。初始角度必须为正，所以将其下界设为0.05。初始角度不应超过PI./ 2;将其上界设为PI./ 2 - 0.05。

磅= (-200;0.05);乌兰巴托=(1;π/ 2 . 05);

给定返回返回距墙壁的负距离的物体函数，给定初始位置和角度。如果轨迹以小于20的高度穿过墙壁，则轨迹是不可行的;该约束是非线性约束。的cannonobjcon.函数实现了目标函数的计算。为了实现非线性约束，函数调用Fzero.要查找射弹为零的X值的时间。该函数占失败的可能性Fzero.通过检查时间15后，弹丸的x值是否大于零来执行函数。如果不是，那么函数跳过了计算弹丸通过壁面的时间这一步。

类型cannonobjcon.

功能f = cannonobjcon（x）％更改初始2-d点x至4-d x0 x0 = [x（1）; 0; 300 * cos（x（2））; 300 * sin（x（2））];％求解轨迹sol = ode45（@cannonshot，[0,15]，x0）;％查找时间t在轨迹高度= 0 zerofnd = fzero（@（r）deval（sol，r，2），[1e-2,15]）;％在该时间发现dist = deval（sol，zerofnd，1）的水平位置;射弹在x = 0上穿过墙壁时的高度是多少？如果deval（sol，15,1）> 0 wallfnd = fzero（@（r）deval（sol，r，1），[0,15]）;height = deval（sol，wallfnd，2）;else height = deval（sol，15,2）;结束f.ineq = 20  - 高度;％高度必须高于20％，对最大化F.fval = -Dist的距离保持距离。 end

您已经计算了一个可行的初始轨迹。使用该值作为初始点。

fx0 = cannonobjcon（x0）;fx0.x = x0;

使用求解优化`surrogateopt`

集surrogateopt使用初始点的选项。为了再现性，将随机数生成器设置为默认的．使用“surrogateoptplot”绘图功能。运行优化。理解这一点“surrogateoptplot”情节,看到解释surrogateoptplot．

选择= optimoptions ('trustogateopt'，“InitialPoints”x0,'plotfcn'，“surrogateoptplot”）;rng默认的[Xsolution，距离，EXITFLAG，输出] = TREROGATEOPT（@ Cannonobjcon，LB，UB，OPTS）

图优化绘图功能包含轴。标题最佳轴：-125.999现任：-125.773当前：-125.773包含9个类型的线。这些物体代表最佳，现任，初始样本，随机样本（Infeas），随机样本，自适应样品，自适应样品（Infeas），现任（Infeas），替代复位。

Trustogateopt停止，因为它超出了“选项”QuaxFunctioneValuations'设置的函数评估限制。

xsolution =.1×2-28.3776 0.6165

距离= -125.9986.

exitflag = 0

输出=结构与字段：Elapsedtime：43.7252 Funccount：200 Cankerviolation：7.6395E-04 INEQ：7.6395E-04 RNGState：[1x1 struct]消息：'TrustogateOpt停止，因为它超过了...'所设定的函数评估限制

画出最后的轨迹。

图Dist = plotcannonsolution（xsolution）;

图中包含一个轴。具有标题距离125.998590的轴包含2个类型的线。这些物体代表轨迹，墙。

的Patternsearch.解决方案并行优化ODE显示了最后的距离125.9880，和这个几乎一样surrogateopt解决方案。

另请参阅

surrogateopt

带非线性约束的代理优化

问题描述

制定ODE模型

准备优化

使用求解优化`surrogateopt`

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提示和技巧 - 使用MATLAB开始使用优化

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