解决刚性常微分方程

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这一页包含两个例子，解决刚性常微分方程使用ode15s．MATLAB®有四个为刚性ode设计的求解器。

ode15s
ode23s
ode23t
ode23tb

对于大多数棘手的问题，ode15s表现最好的。然而,ode23s，ode23t,ode23tb如果问题允许粗略的容错，则可以更有效。

什么是僵硬ODE?

对于一些ODE问题，求解器所采取的步长被强迫降至一个不合理的小水平，与积分区间相比，即使在求解曲线是平滑的区域。这些步长可能非常小，以至于穿越一个短时间间隔可能需要数百万次计算。这可能导致求解器在集成中失败，但即使它成功了，也需要很长时间才能做到。

在ODE求解器中导致这种行为的方程被称为僵硬的．僵硬的ode提出的问题是显式求解器(例如数值)解决问题的速度慢得站不住脚。这就是为什么数值被归类为该方法解算器随着ode23和ode113．

为刚性ode设计的求解器，称为僵硬的解决者，通常每一步做更多的工作。结果是，与非刚性求解器相比，它们能够采取更大的步骤，并提高了数值稳定性。

解算器选项

对于刚性问题，指定雅可比矩阵使用odeset是特别重要的。刚性求解器使用雅可比矩阵 $ p_partial f_i / p_partial y_j$ 在集成过程中估计ODE的局部行为，因此提供雅可比矩阵(或者，对于大型稀疏系统，提供其稀疏模式)对于效率和可靠性是至关重要的。使用雅可比矩阵，JPattern,或矢量化选项的odeset来指定关于雅可比矩阵的信息。如果你不提供雅可比矩阵，那么求解器就会用有限差分数值估计它。

看到odeset获取其他求解器选项的完整列表。

例:Stiff van der Pol方程

范德波尔方程是一个二阶微分方程

$$ y“_1 - \μ\离开(1 - y_1 ^ 2 \右)y ' _1 + y_1 = 0, $$

在哪里 $美元\μ& # 62;0美元$ 为标量参数。当 $\μ= 1美元$ ，得到的ode系统是非刚性的，易于使用数值．但是，如果你增加 $\μ美元$ 到1000时，解发生了剧烈的变化，并在更长的时间尺度上表现出振荡。初值问题的近似解变得更加困难。因为这个特殊的问题是僵硬的，一个解决非僵硬问题的方法，例如数值它的效率太低，不实用。使用硬解算器，如ode15s而不是这个问题。

将范德波尔方程改写为一阶ode系统 $ y ' _1 = y_2美元．得到的一阶ode系统为

$数组$ $ & # xA; \开始{}{cl} & # xA; y“_1 & # 38;= y_2 \ \ & # xA; y ' _2 & # 38; = \μ(1-y_1 ^ 2) y_2结束——y_1。\{数组}& # xA; $ $$

的vdp1000函数求范德波尔方程的值 $\μ= 1000美元$ ．

函数dydt = vdp1000 (t, y)计算mu = 1000时的范德堡尔ode。％%参见ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TB。亚采克·基尔赞卡和劳伦斯·f·沙宾版权所有1984-2014 The MathWorks, Inc.dydt = [y (2);1000 * (1 y (1) ^ 2) * y (2) - y (1)];

使用ode15s函数的初始条件向量为[2;0]的时间间隔3000年[0]．出于缩放的原因，只绘制解决方案的第一个组件。

[t,y] = ode15s(@vdp1000，[0 3000]，[2;0]);情节(t y (: 1),“o”）;标题(van der Pol方程的解，\mu = 1000）;包含(“t”）;ylabel (“解决方案y_1”）;

的vdpode函数也解决了相同的问题，但是它接受用户指定的值 $\μ美元$ ．方程变得越来越僵硬 $\μ美元$ 增加。

示例:稀疏布鲁塞尔系统

经典的布鲁塞尔方程组可能是庞大、僵硬和稀疏的。布鲁塞尔系统模拟化学反应中的扩散，并由一个涉及你美元，五美元，你的美元 , v '美元．

$数组$ $ \开始{}{cl} u”_i & # 38; = 1 + u_i ^ 2 v_i-4u_i +α\ \离开(N + 1 \右)& # xA; ^ 2 \离开(u_张{}2 _i + u_ {i + 1} \) \ \ v ' _i & # 38; = 3 u_i-u_i ^ 2 v_i + \α# xA; \离开(N + 1 \右)^ 2 \离开(v_张{}- 2 v_i + v_ {i + 1} \) \{数组}$ $$

函数文件brussode在时间间隔上解这组方程[0, 10]与 $\α= 1/50美元$ ．初始条件为

$数组$ $ \开始{}{cl} u_j(0) & # 38; = 1 + \罪(2 \πx_j) \ \ v_j (0) & # 38; = & # xA; 3 \{数组}$ $$

在哪里 x_j = i / N + 1美元为 i = 1美元,…,N ．因此,有 2 n美元而是雅可比矩阵 $ f / y$ 是否有一个宽度为5的带状矩阵，如果方程是有序的 u_1美元,v_1, u_2、v_2…美元．作为 N美元，问题变得越来越僵硬，雅可比矩阵变得越来越稀疏。

函数调用brussode (N),因为 $N \通用电气2美元$ ，指定的值N在方程组中，对应于网格点的个数。默认情况下,brussode使用 N = 20美元．

brussode包含一些子函数:

嵌套函数f (t, y)编码布鲁塞尔问题的方程组，返回一个向量。
当地的函数jpattern (N)返回一个由1和0组成的稀疏矩阵，表示雅可比矩阵中非零的位置。这个矩阵被赋给JPattern期权结构的字段。ODE解算器使用这个稀疏模式来产生雅可比矩阵作为一个稀疏矩阵。在问题中提供这种稀疏模式可以显著减少生成2N × 2N雅可比矩阵所需的函数求值次数，从2N求值减少到仅4次。

函数brussode (N)模拟化学反应的困难问题。%参数N >= 2用于指定网格点的个数;的生成的系统由2N个方程组成。缺省情况下，N为20。的随着N的存在，问题变得越来越僵硬和稀疏%增加。这个问题的雅可比矩阵是一个稀疏常数矩阵%(带状带宽为5)。％属性'JPattern'用于为求解器提供一个稀疏的由1和0组成的%矩阵，表示雅可比矩阵中非零的位置% df / dy。默认情况下，ODE套件的刚性求解器生成雅可比矩阵%数值上为完整矩阵。然而，当稀疏模式是%，求解器使用它来生成雅可比矩阵的数值形式为a%稀疏矩阵。提供稀疏模式可以显著减少生成雅可比矩阵所需的函数值的百分比%加速整合。对于BRUSSODE问题，只有4个评价%函数需要计算2N x 2N雅可比矩阵。％%设置“矢量化”属性表示函数f%矢量化。％% E.海勒，G.万纳，求解常微分方程II，僵硬和微分代数问题，施普林格-弗拉格，柏林，1991，第5-8页。％%参见ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TB, ODESET, FUNCTION_HANDLE。Mark W. Reichelt和Lawrence F. Shampine, 8-30-94版权所有1984-2014 The MathWorks, Inc.问题参数，与嵌套函数共享。如果nargin<1 N = 20;结束tspan = [0;10);罪y0 =(1 +(2 *π/ (N + 1) * (1: N));repmat (1, N)];选择= odeset (矢量化的，“上”，“JPattern”, jpattern (N));[t、y] = ode15s (@f tspan, y0,选项);u = y(1:2,::结束);x = (1: N) / (N + 1);图;冲浪(x, t, u);视图(-40年,30);包含(“空间”）;ylabel (“时间”）;zlabel (解决你的）;标题(['布鲁塞尔的N = 'num2str (N)));% -------------------------------------------------------------------------%嵌套函数——N由外部函数提供。％函数dydt = f (t, y)%导数函数c = 0.02 * (N+1)^2;dydt = 0 (2 * N,大小(y, 2));% preallocate dy / dt%计算网格一侧的函数的两个分量%(带边缘条件)。i = 1;= 1 + y(i+1，:).*y(i，:)。^2 - 4*y(i，:) +c*(1-2*y(i,:)+y(i+2,:)); dydt(i+1,:) = 3*y(i,:) - y(i+1,:).*y(i,:).^2 + c*(3-2*y(i+1,:)+y(i+3,:));在所有内部网格点上计算函数的2个分量。我= 3:2:2 * n - 3;= 1 + y(i+1，:).*y(i，:)。^2 - 4*y(i，:) +．．.c * (y(:我2)2 *(我:)+ y(我+ 2,));y(i+1，:) = 3*y(i，:) - y(i+1，:).*y(i，:)^ 2 +．．.: c * (y(张)2 *(我+ 1,)+ y (i + 3,:));%在网格的另一边计算函数的两个分量%(带边缘条件)。我= 2 * n - 1;= 1 + y(i+1，:).*y(i，:)。^2 - 4*y(i，:) +c*(y(i-2,:)-2*y(i,:)+1); dydt(i+1,:) = 3*y(i,:) - y(i+1,:).*y(i,:).^2 + c*(y(i-1,:)-2*y(i+1,:)+3);结束% -------------------------------------------------------------------------结束% brussode% ---------------------------------------------------------------------------%子函数——稀疏模式％函数S = jpattern (N)%雅可比稀疏模式B = 1 (2 * N, 5);B (2:2:2 * N, 2) = 0 (N, 1);B (1:2:2 * N - 1, 4) = 0 (N, 1);S = spdiags (B, 2:2, 2 * N, 2 * N);结束% ---------------------------------------------------------------------------