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ode23tb

求解刚性微分方程-梯形法则+逆向微分公式

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语法

[t,y] = ode23tb(odefun,tspan,y0)
[t,y] = ode23tb(odefun,tspan,y0,options)
[t,y,te,ye,ie] = ode23tb(odefun,tspan,y0,options)
Sol = ode23tb(___）

描述

例子

［t，y] = ode23tb(odefun，tspan，y0）,在那里Tspan = [t0 tf]，对微分方程组进行积分 y ＇ ＝ f （ t ， y ） 从t0来特遣部队在初始条件下y0．解数组中的每一行y对应于列向量返回的值t．

所有MATLAB®ODE求解器可以求解这种形式的方程组 y ＇ ＝ f （ t ， y ） ，或者涉及质量矩阵的问题， 米 （ t ， y ） y ＇ ＝ f （ t ， y ） ．这些求解器都使用类似的语法。的ode23s求解器只能在质量矩阵为常数的情况下求解质量矩阵问题。ode15s而且ode23t可以解决质量矩阵奇异的问题，即微分代数方程(DAEs)。函数指定质量矩阵质量选择odeset．

例子

［t，y] = ode23tb(odefun，tspan，y0，选项）还使用定义的集成设置选项属性创建的参数odeset函数。例如，使用AbsTol而且RelTol选项用于指定绝对和相对误差容差，或质量选项提供质量矩阵。

［t，y，te，叶，即] = ode23tb(odefun，tspan，y0，选项）的函数（t，y），称为事件函数，则为零。在输出中，te是事件发生的时间，叶解决方案是在事件发生时，和即触发事件的索引。

对于每个事件函数，指定积分是否终止于零点，以及零点交叉的方向是否重要。通过设置“事件”属性设置为函数，例如myEventFcn或@myEventFcn，并创建相应的函数:[价值，isterminal，方向] =myEventFcn（t，y)．有关更多信息，请参见ODE事件位置．

索尔= ode23tb (___）返回一个可以使用的结构德瓦尔求区间上任意点的解(t0 tf)．您可以使用以前语法中的任何输入参数组合。

例子

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具有单个解决方案组件的简单ode可以在求解器调用中指定为匿名函数。匿名函数必须接受两个输入(t, y)即使其中一个输入没有被使用。

求解ODE

y ” ＝ - 1 0 t ．

使用的时间间隔(0, 2)初始条件Y0 = 1．

Tspan = [0 2];Y0 = 1;[t,y] = ode23tb(@(t,y) -10*t, tspan, y0);

画出解。

情节(t y“o”）

图中包含一个轴。坐标轴包含一个line类型的对象。

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一个刚性方程组的例子是松弛振荡中的范德波尔方程。极限环有一些区域，其中解的分量变化缓慢，问题相当僵硬，与一些变化非常剧烈的区域交替，而这些区域不是僵硬的。

方程组为:

数组$ $ \开始{}{cl} y_1 ' & # 38; = y_2 \ \ y_2’& # 38;= 1000 (1-y_1 ^ 2) y_2-y_1 \{数组}$ $

初始条件是美元y_1(0) = 2美元而且美元y_2(0) = 0美元．这个函数vdp1000船舶与MATLAB®和编码方程。

函数Dydt = vdp1000(t,y)计算mu = 1000时的范德波尔ode。%参见ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TB。雅塞克·基尔曾卡和劳伦斯·f·夏皮恩The MathWorks, Inc.版权所有Dydt = [y(2);1000 * (1 y (1) ^ 2) * y (2) - y (1)];

用数值使用默认的相对和绝对容错(1 e - 3而且1 e-6，分别)非常慢，需要几分钟来求解和绘制解。数值需要数百万个时间步来完成集成，由于刚度的区域，它很难满足公差。

这是得到的解的图数值，这需要很长时间来计算。请注意通过刚性区域所需的大量时间步骤。

求解刚性系统ode23tb求解器，然后画出解的第一列y相对于时间点t．的ode23tb解算器通过僵硬区域的步骤比数值．

[t,y] = ode23tb(@vdp1000，[0 3000]，[2 0]);情节(t y (: 1),“o”）

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ode23s仅适用于使用两个输入参数的函数，t而且y．但是，您可以通过在函数外部定义额外的参数并在指定函数句柄时传入它们来传递额外的参数。

求解ODE

$$y

将方程改写为一阶方程组

数组$ $ \开始{}{cl} y ' _1 & # 38; = y_2 \ \ y ' _2 & # 38; = \压裂{一}{B} t y_1强生# xA; \{数组}$ $

odefcn.m将这个方程组表示为接受四个输入参数的函数:t，y，一个,B．

函数dydt = odefcn(t,y,A,B) dydt = 0 (2,1);Dydt (1) = y(2);dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);

使用以下方法求解ODEode23tb．指定函数句柄，以便它传递为的预定义值一个而且B来odefcn．

A = 1;B = 2;Tspan = [0 5];Y0 = [0 0.01];[t、y] = ode23tb (@ (t, y) odefcn (t, y, A、B), tspan, y0);

画出结果。

情节(t y (: 1),“o”、t、y (:, 2),“-”。）

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的ode15s求解器是解决大多数棘手问题的首选。然而，对于某些类型的问题，其他复杂的求解器可能更有效。本例使用所有四个硬ODE求解器求解一个硬测试方程。

考虑测试方程

y ” ＝ - λ y ．

的大小使方程变得越来越僵硬 λ 增加。使用 λ ＝ 1 × 1 0 9 初始条件 y （ 0 ） ＝ 1 在时间间隔内0.5 [0]．有了这些值，问题就足够复杂了数值而且ode23努力去积分方程。此外,使用odeset来传递常数雅可比矩阵 J ＝ ∂ f ∂ y ＝ - λ 并打开解算器统计数据的显示。

Lambda = 1e9;Y0 = 1;Tspan = [0 0.5];Opts = odeset(的雅可比矩阵λ,“统计数据”，“上”）;

用ode15s，ode23s，ode23t,ode23tb．制作子图进行比较。

Subplot (2,2,1) tic, ode15s(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts)， toc
104个成功步骤1个失败尝试212个函数求值0个偏导数21个LU分解210个线性系统解耗时1.769706秒。金宝搏官方网站
标题(“ode15s”) subplot(2,2,2) tic, ode23s(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts)， toc
63个成功步骤0个失败尝试191个函数求值0个偏导数63个LU分解189个线性系统的解耗时0.338426秒。金宝搏官方网站
标题(“ode23s”) subplot(2,2,3) tic, ode23t(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts)， toc
95个成功步骤0个失败尝试125个函数求值0个偏导数28个LU分解123个线性系统的解耗时为0.679626秒。金宝搏官方网站
标题(“ode23t”) subplot(2,2,4) tic, ode23tb(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts)， toc
71个成功步骤0个失败尝试167个函数求值0个偏导数23个LU分解236个线性系统解耗时为0.585104秒。金宝搏官方网站
标题(“ode23tb”）

图包含4个轴。标题为ode15s的坐标轴1包含2个类型为line的对象。标题为ode23s的坐标轴2包含2个类型为line的对象。标题为ode23t的坐标轴3包含2个类型为line的对象。标题为ode23tb的轴4包含2个类型为line的对象。

刚性解算器都表现得很好，但是ode23s对于这个特定的问题，以最少的步骤完成集成并以最快的速度运行。由于指定了常数雅可比矩阵，求解器不需要计算偏导数来计算解。指定雅可比矩阵的好处ode23s因为它通常在每一步都求雅可比矩阵。

对于一般的刚性问题，刚性求解器的性能取决于问题的格式和指定的选项。提供雅可比矩阵或稀疏模式可以提高求解刚性问题的效率。但由于刚性求解器使用不同的雅可比矩阵，改进可能会有显著差异。实际上，如果一个方程组非常大或者需要求解很多次，那么研究不同求解器的性能以最小化执行时间是值得的。

输入参数

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要解决的函数，指定为函数句柄，它定义了要集成的函数。

这个函数Dydt = odefun(t,y)，对于标量t和一个列向量y，必须返回一个列向量dydt数据类型的单或双这对应于 f （ t ， y ） ．odefun必须同时接受输入参数，t而且y，即使函数中没有使用其中一个参数。

例如，解 y ＇ ＝ 5 y − 3. ，使用函数:

函数dydt = odefun(t,y) dydt = 5*y-3;

对于方程组，的输出odefun是一个向量。向量中的每个元素都是一个方程的解。例如，解

y ＇ 1 ＝ y 1 + 2 y 2 y ＇ 2 ＝ 3. y 1 + 2 y 2

使用函数:

函数dydt = odefun(t,y) dydt = 0 (2,1);Dydt (1) = y(1)+2*y(2);Dydt (2) = 3*y(1)+2*y(2);

有关如何向函数提供附加参数的信息odefun,请参阅参数化功能．

例子:@myFcn

数据类型:function_handle

积分的区间，用向量表示。至少,tspan一定是两个元素的向量(t0 tf)指定初始时间和最终时间。在特定的时间之间获得金宝搏官方网站解决方案t0而且特遣部队，使用一个较长的向量的形式(t0, t1, t2,…,tf)．元素tspan必须是全增加或全减少。

求解器施加的初始条件为y0在初始时间tspan (1)，然后从tspan (1)来tspan(结束)：

  • 如果tspan有两个元素，(t0 tf)，则求解器返回在区间内每个内部积分步骤求值的解。

  • 如果tspan有两个以上的元素(t0, t1, t2,…,tf)，求解器返回给定点处的解。然而，求解器并不精确地步进到中指定的每个点tspan．相反，求解器使用自己的内部步骤来计算解决方案，然后在请求的点处计算解决方案tspan．在指定点金宝搏官方网站产生的解与在每个内部步骤计算的解具有相同的精度。

    指定几个中间点对计算效率的影响很小，但对于大型系统，它可能会影响内存管理。

的价值tspan被求解器用来计算合适的值InitialStep而且MaxStep：

  • 如果tspan包含几个中间点(t0, t1, t2,…,tf)，则指定的点给出了问题的尺度指示，这可以影响的值InitialStep由求解器使用。因此，求解器获得的解可能不同，这取决于您是否指定tspan作为一个两元向量或作为一个中间点向量。

  • 中的初始值和最终值tspan用于计算最大步长MaxStep．因此，更改中的初始值或最终值tspan可能导致求解器使用不同的步骤序列，这可能会改变解决方案。

例子:10 [1]

例子:[1 3 5 7 9 10]

数据类型:单|双

初始条件，指定为一个向量。y0必须与的向量输出的长度相同odefun，所以y0中定义的每个方程的初始条件odefun．

数据类型:单|双

选项结构，指定为结构数组。使用odeset函数创建或修改选项结构。看到ODE选项摘要获取与每个求解器兼容的选项列表。

例子:options = odeset('RelTol'，1e-5，'Stats'，'on'，'OutputFcn'，@ odeploy)的相对容错能力1 e-5，打开解算器统计显示，并指定输出函数@odeplot在计算的过程中画出解。

数据类型:结构体

输出参数

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计算点，作为列向量返回。

  • 如果tspan包含两个元素，(t0 tf),然后t包含用于执行集成的内部评估点。

  • 如果tspan那么，包含两个以上的元素t和tspan．

金宝搏官方网站解，作为数组返回。每一行y的对应行中返回值处的解t．

事件的时间，作为列向量返回。事件时间te对应于返回的解金宝搏官方网站叶,即指定发生的事件。

事件发生时的解，作为数组返回。事件时间te对应于返回的解金宝搏官方网站叶,即指定发生的事件。

触发事件函数的索引，作为列向量返回。事件时间te对应于返回的解金宝搏官方网站叶,即指定发生的事件。

结构进行计算，作为结构数组返回。元素使用此结构德瓦尔函数求出区间内任意点的解(t0 tf)．的索尔结构数组总是包含这些字段:

结构域 描述

sol.x

解算器所选步骤的行向量。

sol.y

金宝搏官方网站解决方案。每一列sol.y(:,我)包含当时的解决方案sol.x(我)．

sol.solver

解算器的名字。

此外，如果指定事件然后检测选项和事件索尔还包括这些字段:

结构域 描述

sol.xe

事件发生的时间点。sol.xe(结束)包含终端事件的确切点(如果有的话)。

sol.ye

金宝搏官方网站中的事件对应的解决方案sol.xe．

sol.ie

属性中指定的函数返回的向量事件选择。这些值指示解算器检测到的事件。

算法

ode23tb是TR-BDF2的实现，TR-BDF2是隐式龙格-库塔公式，其第一阶段为梯形规则步，第二阶段为二阶倒向微分公式。通过构造，采用相同的迭代矩阵对两个阶段进行求解。就像ode23s而且ode23t，这个求解器可能比ode15s用于粗公差问题[1]，[２]．

参考文献

[1] Bank, R. E.， W. C. Coughran, Jr.， W. Fichtner, E. Grosse, D. Rose，和R. Smith，“硅器件和电路的瞬态模拟”，IEEE反式。计算机辅助设计， 4(1985)，第436-451页。

[2] Shampine, L. F.和M. E. Hosea，“TR-BDF2的分析与实现”，应用数值数学20, 1996年。

另请参阅

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主题

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用MATLAB介绍深度学习

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