使用反斜杠(金宝搏官方网站\),lsqminnorm．使用解决方案的2规范进行比较结果。金宝搏官方网站

当无穷解存在时金宝搏官方网站 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$，每一个都是最小值 $\Vert \mathrm{斧头}-\mathit{B.}\Vert$．反斜杠命令(\）计算一个这样的解决方案，但这种解决方案通常不会最小化 $\Vert \mathit{X}\Vert$．通过的解决方案lsqminnorm不仅仅是最小化规范(*取向)， 但是也规范(x)．

考虑一个简单的线性方程组，一个方程两个未知数， $2{\mathit{X}}_1+3.{\mathit{X}}_2=8.$．这个系统是有未确定的因为方程比未知数少。使用反斜杠和来解决这个等式lsqminnorm．

a = [2 3];B = 8;x_a = a \ b

x_a =2×10 2.6667

x_b = lsqminnorm (A, b)

x_b =2×11.2308 - 1.8462

这两种方法获得了不同的解决方案，因为反斜杠仅旨在最小化金宝搏官方网站规范(*取向),而lsqminnorm也旨在减少规范(x)．计算这些规范，并把结果放在表格中，以便比较。

s1 = {“反斜杠”;“lsqminnorm”};S2 = {'norm_ax_minus_b'那'norm_x'};T =表([规范(A * x_a-b);规范(* x_b-b)]、[规范(x_a);规范(x_b)),'rownames'，S1，'variablenames'，S2）

t =2×2表norm_ax_minus_b norm_x _______________ ______反斜杠0 2.6667 LSQminnorm 1.7764E-15 2.2188

该图演示了这种情况，并显示了每种方法返回的解决方案。金宝搏官方网站蓝线表示方程的无穷个解金宝搏官方网站 ${\mathit{X}}_2=-\frac{2}{3.}{\mathit{X}}_1+\frac{8.}{3.}$．橙色的圆表示从原点到解的直线的最小距离，返回的解金宝搏官方网站lsqminnorm位于线路和圆之间的切线点处，表示它是最接近原点的解决方案。

显示如何指定排名计算的公差lsqminnorm可以帮助定义问题的规模，以便随机噪声不会破坏解决方案。

创建一个5秩的低秩矩阵和一个右边向量B.．

rng默认重复性的％U = Randn（200,5）;v = Randn（100,5）;a = u * v';B = U * RANDN（5,1）+ 1E-4 * RANDN（200,1）;

解线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$使用lsqminnorm．计算范数a * x-b和X检查溶液的质量。

x = lsqminnorm (A, b);规范(*取向)

ans = 0.0014

规范(x)

ans = 0.1741.

现在向矩阵添加少量噪声一种并再次解决线性系统。噪音会影响解决方案矢量X线性系统不成比例地。

噪声= A + 1e-12*randn(200,100);xnoise = lsqminnorm(声音吵醒,b);常态（Anoise * Xnoise  -  B）

ans = 0.0010

规范(xnoise)

ans = 1.1215e + 08

解决方案较大的原因是噪音影响低秩近似金宝搏官方网站一种．换句话说，lsqminnorm在对角线上处理小值R.矩阵的QR分解一种比他们本身更重要。理想情况下，对角线上的这些小值R.应该被视为零。

元素的对角线元素R.矩阵的QR分解吵闹声．大量对角线元件是约1E-10的顺序。

(Q, R, p) = qr(声音吵醒,0);semilogy (abs(诊断接头(R)),“o”）

解决这个问题的办法是增加使用的容差lsqminnorm这是一个低阶近似吵闹声计算中采用误差小于1e-8的方法。这使得结果不那么容易受到噪音的影响。使用公差的解决方案与原始解决方案非常接近X．

Xnoise = LSQminnorm（Anoise，B，1E-8）;常态（Anoise * Xnoise  -  B）

ans = 0.0014

规范(xnoise)

ans = 0.1741.

规范(x - xnoise)

ans = 1.0811 e-14

求解涉及低秩系数矩阵的线性系统，警告打开。

创建一个3×3矩阵的等级2.在此矩阵中，您可以通过将前两列添加在一起来获取第三列。

a = [1 2 3;4 5 9;6 7 13]

A =3×31 2 3 4 5 9 6 7 13

求问题的最小范数最小二乘解 $\mathrm{斧头}=\mathit{B.}$,在那里 $\mathit{B.}$等于第二列 $\mathit{一种}$．指定“警告”旗帜lsqminnorm如果检测到，显示警告一种等级低。

B = A（:,2）;x = lsqminnorm（a，b，“警告”）

警告：排名缺陷，等级= 2，tol = 1.072041e-14。

X =3×1-0.3333 0.6667 0.3333