使用空值函数来计算一个矩阵的零空间的标准正交和有理基向量。矩阵的零空间包含向量 $\mathit{x}$满足 $\mathrm{斧头}=0$。

创建一个4乘4的神奇方阵。这个矩阵缺乏秩，其中一个奇异值等于零。

=魔法(4)

一个=4×416 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15

计算零空间的一组标准正交基一个。确认 $\mathit{一个}{\mathit{x}}_1=0$，在舍入误差内。

x1 = null (A)

x1 =4×1-0.2236 -0.6708

规范(* x1)

ans = 3.0652e-15

现在计算零空间的有理基。确认 $\mathit{一个}{\mathit{x}}_2=0$。

x2 =零,“r”)

x2 =4×11 -3 3 1

规范(A * x2)

ans = 0

x1和x2相似，但归一化不同。

找到一个特定的解决方案到未确定的系统，然后获取所有解决方案的一般形式。金宝搏官方网站

已被限定的线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$涉及比等式更多的未知数。未确定的系统可以具有无限的许多解决方案或没有解决方案。金宝搏官方网站当系统无限的解决方案时，它们都躺在一条线上。金宝搏官方网站线路上的点都以空空格向量的线性组合获得。

创建一个2乘4的系数矩阵，并使用反斜杠来解决这个方程 $\mathit{一个}{\mathit{x}}_0=\mathit{b}$,在那里 $\mathit{b}$是一个向量。反斜杠计算问题的最小二乘解决方案。

A = [1 8 15 67;7 14 16 3]

一个=2×41 8 15 67 7 14 16 3

b = 1 (2, 1);x0 = \ b

x0 =4×10 0 0.0623 0.0010

欠定系统的完全通解具有以下形式 $\mathit{x}={\mathit{x}}_0+\mathrm{纽约}$,地点:

计算的零空间一个，然后用结果构造方程组的另一个解。检查新解是否满足要求 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$，直到舍入误差。

N = null (A)

N =4×2-0.2977 -0.8970 -0.6397 0.4397 0.7044 0.0157 -0.0769 -0.0426

x = x0 + N*[1;2]

x =4×11.4963 -1.5192 0.7354 0.0093

规范(*取向)

ans = 2.8908 e-14