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pchip

分段立方Hermite插值多项式（PCHIP）

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语法

p = pchip（x，y，xq）
页= pchip (x, y)

描述

例子

p= pchip (x，y，xq）返回内插值的向量p对应于查询点xq．的值p是由的形状保存分段立方插值的x和y．

例子

页= pchip (x，y）返回用于的分段多项式结构ppval.还有样条实用程序UNMKPP.．

例子

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比较由此产生的插值结果花键，pchip， 和makima对于两个不同的数据集。这些函数都执行不同形式的分段三次厄米特插值。每个函数计算插值函数斜率的方式不同，当底层数据是平坦区域或波动区域时，会导致不同的行为。

比较连接平坦区域的样本数据的插值结果。创建向量x值，在这些点处的函数值y，和疑问点xq．使用花键，pchip， 和makima．绘制查询点处的内插功能值以进行比较。

x =三3;Y = [-1 -1 0 1 1 1];xq1 = 3: .01:3;p = pchip (x, y, xq1);s =花键(x, y, xq1);m = makima (x, y, xq1);情节(x, y,'o'xq1, p,“- - -”，xq1，s，' - 。'xq1, m,' - ')传说(采样点的，“pchip”，'样条曲线'，'makima'，'地点'，'东南'）

在这种情况下,pchip和makima具有相似的性能，避免超调，并能准确连接平面区域。

使用振荡样本函数进行第二次比较。

x = 0:15;y = besselj（1，x）;XQ2 = 0：0.01：15;p = pchip（x，y，xq2）;s =样条曲线（x，y，xq2）;m = makima（x，y，xq2）;情节(x, y,'o'，xq2，p，“- - -”，xq2，s，' - 。'xq2, m,' - ')传说(采样点的，“pchip”，'样条曲线'，'makima'）

当潜在功能是振荡时，花键和makima捕捉点之间的移动比pchip，它在局部极值附近非常平坦。

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为x值和函数值y，然后使用pchip构造一个分段多项式结构。

x = 5;Y = [1 1 1 0 0 1 2 2 2 2];p = pchip (x, y);

使用下面的结构ppval.在几个查询点上计算插值。策划的结果。

xq = 5:0.2:5;页= ppval (p, xq);情节(x, y,'o'xq, pp、' - 。') ylim ([-0.2 - 2.2])

输入参数

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采样点，指定为一个向量。向量x指定数据所处的点y给出。元素x必须是唯一的。

数据类型:单|双倍的

函数值在采样点，指定为数字向量、矩阵或数组。x和y必须有相同的长度。

如果y是矩阵或数组，那么最后一个维度中的值，y(::,…,j)，被视为与之匹配的价值x．在这种情况下，最后一个维度y必须与x．

数据类型:单|双倍的

查询点，指定为标量、向量、矩阵或数组。载于xq是x-坐标为插值函数值YQ.计算pchip．

数据类型:单|双倍的

输出参数

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查询点上的插值值，以标量、向量、矩阵或数组的形式返回。的大小p是否与尺寸有关y和xq：

  • 如果y是一个矢量，然后p和的尺寸一样吗xq．

  • 如果y是一系列大小ny =尺寸（y），则适用以下条件:

    • 如果xq然后是标量或矢量尺寸（p）返回[ny（1：端1）长度（xq）]．

    • 如果xq是数组吗尺寸（p）返回[ny（1：结束-1）尺寸（xq）．

分段多项式，作为结构返回。使用这个结构ppval.在一个或多个查询点处评估内插多项式的功能。该结构有这些领域。

场 描述
形式

“页”为分段多项式
休息时间

长度矢量L + 1用严格增加的元素表示每个的开始和结束l间隔
COEFS.

l-经过-k每一行的矩阵coefs（我，:)包含订单的本地系数k多项式在我间隔，[休息（i），休息（i + 1）]
块

数量的碎片,l
命令

多项式的顺序
昏暗的

维度的目标

因为多项式系数在COEFS.是每个间隔的本地系数，您必须减去相应的结区间的下端点以在传统多项式方程中使用系数。换句话说，对于系数(a, b, c, d)的时间间隔(x1, x2)，相应的多项式是

f （ x ） ＝ 一个 （ x − x 1 ） 3. + b （ x − x 1 ） 2 + c （ x − x 1 ） + d ．

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保持形状的分段三次插值

pchip使用分段三次多项式进行插值 P （ x ） 这些属性:

  • 在每个子宫内 x k ≤ x ≤ x k + 1 ，多项式 P （ x ） 是一个三次Hermite插值多项式，对给定的数据点在插值点处有特定的导数(斜率)。

  • P （ x ） 插值y， 那是， P （ x j ） ＝ y j ，以及第一个衍生物 d P d x 是连续的。二阶导数 d 2 P d x 2 大概是不连续的所以跳吧 x j 是有可能的。

  • 立方interpolant P （ x ） 是形状保存。斜坡 x j 以这样的方式被选中 P （ x ） 保留数据的形状并尊重单调性。因此，在数据是单调的间隔，所以是 P （ x ） ，在数据有局部极值的点上，也有 P （ x ） ．

请注意

如果y是一个矩阵, P （ x ） 满足每行的这些属性y．

尖端

  • 花键结构体 年代 （ x ） 用几乎相同的方式pchip结构体 P （ x ） ．然而，花键选择斜率 x j 不同，即甚至做 年代 ” （ x ） 连续的。这种差异有几个影响:

    • 花键产生一个平滑的结果，这样 年代 ” （ x ） 是连续的。

    • 花键如果数据由平滑函数的值组成，则产生更准确的结果。

    • pchip如果数据不平滑，没有超调和较少的振荡。

    • pchip安装成本更低。

    • 评估两者同样昂贵。

参考

弗里奇，F. N.和R. E.卡尔森。“单调分段三次插值。”暹罗杂志数值分析．第17卷，1980年，第238 - 246页。

卡哈纳，大卫，克里夫·莫勒，斯蒂芬·纳什。数值方法与软件．上部马鞍河，NJ：Prentice Hall，1988年。

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另请参阅

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