生成和绘制Pareto Front

这个例子展示了如何为一个二维多目标函数生成和绘制帕累托前沿fgoalattain．

这个例子中的两个目标函数是凸函数的平移和缩放版本 $$\sqrt{1+x^2}$$．目标函数的代码出现在simple_mult的辅助函数这个例子到此结束．

两个目标函数都在区域内减小 $$x\le 0$$并在该地区增长 $$x\ge 1$$．在0和1之间， $$f_1（x）$$增加和 $$f_2（x）$$减小，因此存在一个权衡区域。为的两个目标函数 $$x$$从 $$-1/2$$来 $$3./2$$．

t = linspace (1/2, 3/2);F = simple_mult (t);情节(t、F“线宽”, 2)在情节([0,0],[0,8],“g——”）;情节([1],[0,8],“g——”）;情节([0,1],(1,6),“k”。，“MarkerSize”15);文本(-0.25,1.5,“最小f (f (x))”5.5)文本(综合成绩,“最低(₂(x))”)举行从传奇(' f (x)的，“₂(x)”)包含({“x”；“绿线之间的权衡区域”}）

求帕累托前沿，首先求两个目标函数的无约束极小值。在这种情况下，你可以在图中看到最小值 $$f_1（x）$$是1，最小值是 $$f_2（x）$$是6，但一般来说，您可能需要使用优化程序来找到最小值。

一般来说，编写一个函数，返回多目标函数的一个特定组件。(pickindex的辅助函数这个例子到此结束返回 $$k$$目标函数值。)然后用优化求解器求出各分量的最小值。您可以使用fminbnd在这种情况下，还是fminunc对于高维问题。

k = 1;[min1, minfn1] = fminbnd (@ (x) pickindex (x, k), 1, 2);k = 2;[min2, minfn2] = fminbnd (@ (x) pickindex (x, k), 1, 2);

为每个目标函数设定无约束最优目标。只有在目标函数互不干扰的情况下，即不存在权衡，您才能同时实现这些目标。

目标= [minfn1, minfn2];

为了计算帕累托前沿，取权向量 $$［\mathrm{一个}，1-\; -\; -\; -\; -\; -\mathrm{一个}］$$为 $$\mathrm{一个}$$从0到1。解决目标实现的问题，为各个值设定权重。

nf = 2;%目标函数个数N = 50;%绘制的点数onen = 1 / N;x = 0 (N + 1);f = 0 (N + 1 nf);有趣= @simple_mult;x0 = 0.5;选择= optimoptions (“fgoalattain”，“显示”，“关闭”）;为r = 0:N t = onen*r;% 0到1重量= (t - t);[x (r + 1:), f (r + 1:)] = fgoalattain(有趣,x0,目标,重量,．..[],[],[],[],[],[],[], 选项);结束图绘制(f (: 1), f (:, 2),“柯”）;包含(“f”) ylabel (“₂”）

你可以看到两个目标函数之间的权衡。

函数F(:，1) =√(1+x.^2);F(:，2) = 4 + 2*根号1+(x-1) ^2;结束

函数Z = pickindex(x,k) Z = simple_mult(x);同时评估两个目标z = z (k);回报率目标结束

另请参阅

fgoalattain

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