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Polyeig

polynomial eigenvalue problem

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句法

e= polyeig（A0，，，，一种1，，，，。。。，，，，一种p）
[x，e] = polyeig（a0，a1，...，ap）
[[X，，，，e，，，，s] = polyeig(A0,A1,...,Ap)

Description

例子

e= polyeig（A0，，，，一种1，，，，。。。，，，，一种p）返回特征值多项式特征值问题of degreep。

例子

[[X，，，，e] = polyeig(A0，，，，一种1，，，，。。。，，，，一种p）also returns matrixX，，，，of sizen-by-n*p，其列是特征向量。

例子

[[X，，，，e，，，，s] = polyeig(A0，，，，一种1，，，，。。。，，，，一种p）additionally returns vectors，长度p*n，，，，containing condition numbers for the eigenvalues. At least one ofA0andAP必须是非词。较大的状况数字表明，该问题接近重复特征值的问题。

Examples

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解决涉及质量矩阵的二次特征值问题m，，，，damping matrixC，，，，and stiffness matrixk。这个二次特征值问题来自运动方程：

This equation applies to a broad range of oscillating systems, including a dynamic mass-spring system or RLC electronic network. The fundamental solution is，这两者兼而有之andXmust solve the quadratic eigenvalue problem (QEP),

创建系数矩阵m，，，，C，，，，andk代表具有四度自由的质量弹簧系统。系数矩阵都是对称和阳性半限定的，并且mis a diagonal matrix.

m =diag([3 1 3 1])
m =3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1
C=[[0。4 0 -0.3 0; 0 0 0 0; -0.3 0 0.5 -0.2; 0 0 -0.2 0.2]
C=0.4000 0 -0.3000 0 0 0 0 0 0-0.3000 0 0.5000 -0.2000 0 0 -0.2000 0.2000
k = [-7 2 4 0;2 -4 2 0;4 2 -9 3;0 0 3 -3]
k=-7 2 4 0 2 -4 2 0 4 2 -9 3 0 0 3 -3

Solve the QEP for the eigenvalues, eigenvectors, and condition numbers usingPolyeig。

[[X，，，，e，，，，s] = polyeig(K,C,M)
x =Columns 1 through 7 0.1828 0.3421 0.3989 0.0621 0.3890 -0.4143 -0.4575 0.3530 -0.9296 0.3330 -0.8571 -0.6366 -0.2717 -0.4981 -0.5360 -0.0456 -0.1724 0.3509 -0.3423 0.1666 -0.5106 0.7448 0.1295 -0.8368 -0.3720 0.5712 0.8525 -0.5309 Column 8 0.4563 0.4985 0.5107 0.5315
e=-2.4498 -2.1536 -1.6248 2.2279 2.0364 1.4752 0.3353 -0.3466
s=0.5813 0.8609 1.2232 0.7855 0.7012 1.2922 10.1097 10.0519

检查第一个特征值,e（（1），第一个特征向量，X（（:,1)，满足QEP方程。结果接近但不完全是零。

lambda = e（1）;x = x（：，1）;（m*lambda^2 + c*lambda + k）*x
ans =1.0E -13 * -0.1688 0.0933 0.0977 0.0111

输入参数

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平方系数矩阵，指定为单独的参数。矩阵都必须具有相同的顺序，n。

数据类型：单身的|双倍的
复杂的数字支持：金宝app是的

输出参数

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Eigenvalues, returned as a vector.

Eigenvectors, returned in the columns of a matrix. The first eigenvector isX（（:,1)，，，，the second isX（（:,2)， 等等。

条件编号，返回为向量。条件编号s对应于类似位置的特征值e。Large condition numbers indicate that the problem is close to having repeated eigenvalues.

更多关于

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多项式特征值问题

这多项式特征值问题is a variant of the standard eigenvalue problem,一种X=λX，，，，but instead involves polynomials rather than linear terms.

与标准特征值问题一样，该解决方案涉及找到满足方程的特征值和特征向量，即

（（ 一种 0 + λ 一种 1 + … + λ p 一种 p ） X = 0 ，，，，

where the polynomial degree,p，是一个非负整数，并且A0，A1，... AP是正方形系数级矩阵n。

最常见的形式是quadratic多项式特征值问题，，，，which is

（（ 一种 2 λ 2 + 一种 1 λ + 一种 0 ） X = 0 。

二次特征值问题与标准（或广义）特征值问题之间的一个主要区别是2neigenvalues with up to2n左右特征向量。如果有不止n特征向量，特征向量不会形成线性独立的集合。看[[1]and[2]有关二次特征值问题的更多详细信息。

Tips

  • Polyeighandles the following simplified cases:

    • p=0， 或者polyeig（a），是标准特征值问题，eig（（一种）。

    • p=1， 或者Polyeig（（一种，，，，B)，是广义特征值问题，eig（a，-b）。

    • n = 0， 或者Polyeig（A0，A1，...，AP），是标准的多项式问题，根（[AP ... A1 A0]）， 在哪里a0,a1,...,apare scalars.

一种lgorithms

这Polyeigfunction uses the QZ factorization to find intermediate results in the computation of generalized eigenvalues.Polyeiguses the intermediate results to determine if the eigenvalues are well-determined. See the descriptions ofeigandQZ了解更多信息。

计算的解决方案可能不存在或金宝搏官方网站唯一，也可能在计算上不准确。如果两者A0andAP是奇异的矩阵，然后问题可能会不足。如果只有一个A0andAP是奇异的，那么一些特征值可能是0orInf。

缩放A0，，，，一种1，，，，。。。，，，，一种p具有规范（AI）roughly equal to1可能会提高准确性Polyeig。但是，总的来说，这种提高的准确性是无法实现的。（请参阅Tisseur[3]for details).

References

[1] Dedieu，Jean-Pierre和Francoise Tisseur。“均质多项式特征值问题的扰动理论。”线性代数APpl.卷。358, 2003, pp. 71–94.

[2]Tisseur, Francoise, and Karl Meerbergen. “二次特征值问题。”SIAM Rev.卷。43, Number 2, 2001, pp. 235–286.

[3] Francoise Tisseur。“Backward error and condition of polynomial eigenvalue problems。”线性代数APpl.卷。309，2000，第339–361页。

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