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帽子矩阵和杠杆

帽子矩阵

目的

帽子矩阵提供了杠杆的度量。它有助于调查一个或多个观察结果是否与它们无关X值，因此可能会过度影响回归结果。

定义

帽子矩阵也被称为投影矩阵因为它将观测向量y投射到预测向量上， $\overset{＾}{y}$ ，将“帽子”放在y上。帽子矩阵H是用数据矩阵来定义的X：

H＝X（X^TX）¹X^T

并确定拟合值或预测值

$\overset{＾}{y} ＝ H y ＝ X b ．$

的对角元素H，h₂，被称为杠杆和满足

$\begin{array}{l} 0 \leq h_{我我} \leq 1 \\ \sum_{我＝ 1}^{n} h_{我我} ＝ p ， \end{array}$

在哪里p是系数的个数，和n是观察的次数(行数X)的回归模型。HatMatrix是一个n——- - - - - -n矩阵的诊断表格

如何

在得到一个拟合模型之后，mdl,使用fitlm或stepwiselm,您可以:

显示HatMatrix通过使用点表示法索引属性
```
mdl.Diagnostics.HatMatrix
```
当n很大,HatMatrix在计算上可能会很昂贵。在这些情况下，您可以直接获得对角线值，使用
```
mdl.Diagnostics.Leverage
```

利用

目的

杠杆是对特定观察结果对回归预测的影响的度量，该影响是由该观察结果在输入空间中的位置决定的。一般来说，一个点离输入空间的中心越远，它拥有的杠杆就越多。因为杠杆价值的总和是p一个观察我如果其杠杆率大大超过平均杠杆率值，则可视为离群值，p/n，例如，大于2*的值p/n．

定义

观察的作用我价值是多少我th对角线项,h₂，帽子矩阵的，H,在那里

H＝X（X^TX）¹X^T．

对角线项满足

$\begin{array}{l} 0 \leq h_{我我} \leq 1 \\ \sum_{我＝ 1}^{n} h_{我我} ＝ p ， \end{array}$

在哪里p回归模型中系数的个数，和n为观察次数。的最小值h₂是1 /n对于一个常数项的模型。如果拟合模型经过原点，则在点处观察的最小杠杆值为0x= 0。

可以表示拟合值， $\overset{＾}{y}$ ，按观测值计算，y,因为

$\overset{＾}{y} ＝ H y ＝ X b ．$

因此,h₂表达了多少观察y_我有影响 ${\overset{＾}{y}}_{我}$ ．很大的价值h₂表明,我这种情况离所有X值的中心很远n有更多的筹码。利用是一个n-乘1的列向量诊断表格

如何

在得到一个拟合模型之后，mdl,使用fitlm或stepwiselm,您可以:

显示利用向量，使用点表示法索引属性
```
mdl.Diagnostics.Leverage
```
使用下面的方法绘制您的模型所适合的值的杠杆
```
plotDiagnostics (mdl)
```
看到plotDiagnostics的方法LinearModel类的细节。

确定高杠杆观察值

打开生活的脚本

这个例子展示了如何计算利用重视和评估高杠杆观察。加载样本数据并定义响应和自变量。

负载医院y = hospital.BloodPressure (: 1);X =双(医院(:,2:5));

拟合线性回归模型。

mdl = fitlm (X, y);

绘制杠杆值。

plotDiagnostics (mdl)

图中包含一个坐标轴。杠杆的Case order plot的标题轴包含2个line类型的对象。这些对象表示杠杆、参考线。

对于本例，建议阈值是2*5/100 = 0.1。没有迹象表明存在高杠杆。

另请参阅

fitlm|LinearModel|plotDiagnostics|stepwiselm

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