探索单期资产套利

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本实施例中探讨在单阶段的基本概念套利，双态资产组合。该组合包括债券，股票长，并在股票的看涨期权的。

它使用这些符号数学工具箱™功能：

equationsToMatrix等式的线性系统转换成矩阵。
linsolve解决系统。
的标准功能MATLAB®符号当量，如诊断。

这个例子象征性地导出了单期，两个国家的情况下的风险中性概率和赎回价格。

定义投资组合的参数

创建符号变量[R较上期的无风险利率。设置假设[R为正值。

SYMS[R正

定义参数为一个周期的开始，时间= 0。这里S0是股票价格，C0为执行期权的看涨期权价格，ķ。

SYMSS0C0ķ正

现在，定义参数为一个周期结束时，时间= 1。在周期为U（股价在此期间上升）和d（股价在此期间下降）结束标签的两种可能的状态。从而，SU和SD状态U和状态D的股票价格是多少CU在州u的通话值是多少?注意到了吗 $小号 d < = ķ < = 小号 ü$ 。

SYMSSUSDCU正

债券价格在时间= 01。注意，此示例忽略摩擦成本。

收集在价格时间= 0成的列向量。

价格= [1 S0 C0]'

价格=
                 
                   $（ \begin{array}{c} 1 \\ {小号}_{0} \\ C_{0} \end{array} ）$

收集投资组合的收益在时间= 1进入付清矩阵。的列付清对应于收益为状态d和U.行对应于收益债券，股票，和呼叫。用于键的回报是1 + r。状态D中的调用的收益为零，因为它没有被执行(因为 $小号 d < = ķ$ )。

收益= [（1个+ R），（1 + R）;SD，SU;0，CU]

收益=
                 
                   $（ \begin{array}{c} [R + 1 & [R + 1 \\ SD & SU \\ 0 & CU \end{array} ）$

CU值得SU - K在状态U.替换在该值付清。

收益=潜艇（回报，CU，SU  -  K）

收益=
                 
                   $（ \begin{array}{c} [R + 1 & [R + 1 \\ SD & SU \\ 0 & SU - ķ \end{array} ）$

解决风险中性概率

定义达到国家U和D的概率

SYMS聚氨酯pD真正的

在无套利，数学式== 0必须始终坚持以积极的真聚氨酯和pD。

数学式=回报* [物pD;PU]  - 价格

命令=
                 
                   $（ \begin{array}{c} pD ([R + 1) + 聚氨酯 ([R + 1) - 1 \\ SD pD - {小号}_{0} + SU 聚氨酯 \\ - C_{0} - 聚氨酯 (ķ - SU) \end{array} ）$

变换方程用风险中性概率。

SYMSPDRNpUrn真正的;eqns = subs(eqns， [pD;聚氨酯]、[pDrn;pUrn) / (1 + r))

命令=
                 
                   $（ \begin{array}{c} PDRN + pUrn - 1 \\ \frac{SD PDRN}{[R + 1} - {小号}_{0} + \frac{SU pUrn}{[R + 1} \\ - C_{0} - \frac{pUrn (ķ - SU)}{[R + 1} \end{array} ）$

未知变量PDRN，pUrn,C0。利用这些未知变量将线性系统转换成矩阵形式。

[A, b] = equationsToMatrix(eqns， [pDrn, pUrn, C0]')

A =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ \frac{SD}{[R + 1} & \frac{SU}{[R + 1} & 0 \\ 0 & - \frac{ķ - SU}{[R + 1} & - 1 \end{array} ）$

b =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 1 \\ {小号}_{0} \\ 0 \end{array} ）$

运用linsolve，找到一个风险中性的概率和赎回价格的解决方案。

x = linsolve(A, b)

X =
                 
                   $（ \begin{array}{c} \frac{{小号}_{0} - SU + {小号}_{0} [R}{SD - SU} \\ - \frac{{小号}_{0} - SD + {小号}_{0} [R}{SD - SU} \\ \frac{(ķ - SU) ({小号}_{0} - SD + {小号}_{0} [R)}{(SD - SU) ([R + 1)} \end{array} ）$

验证解决方案

验证在风险中性概率，x (1:2)，回报投资组合的预期收益率，E_return等于无风险利率，[R。

E_return = DIAG（价格）\（收益 -  [价格，价格]）*×（1：2）;E_return =简化（潜艇（E_return，C0，X（3）））

E_return =
                 
                   $（ \begin{array}{c} [R \\ [R \\ [R \end{array} ）$

无套利违规测试

作为测试无套利行为的一个例子，使用下列值：R = 5％，S0 = 100,K = 100。对于SU <105，无套利条件被破坏，因为pDrn = xSol (1)是负的(SU> = SD)。此外，对于除xSol（3），有套利。

xSol =简化（潜艇（X，[R，S0，K]，[0.05,100,100]））

xSol =
                 
                   $（ \begin{array}{c} - \frac{SU - 105}{SD - SU} \\ \frac{SD - 105}{SD - SU} \\ \frac{20 (SD - 105) (SU - One hundred.)}{21 (SD - SU)} \end{array} ）$

情节以价格为表面

画出赎回价格，C0 = xSol（3）为50 <= SD <= 100和105 <= SU <= 150。请注意，通话更值钱，当标的股票价格的“差异”是例如高，SD = 50，SU = 150。

fsurf (xSol(3),[50100105150])包含SDylabelSU标题“收回价”

参考

高级衍生品定价和风险管理：理论，工具和应用程序编程阿尔巴尼斯，C.，坎波利蒂，G。

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解决风险中性概率

验证解决方案

无套利违规测试

情节以价格为表面

参考

符号数学工具箱文档

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