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边界效应

经典,DWT定义为序列长度的2的幂和不同的方式扩展需要其它尺寸的样品。方法扩展信号包括补零,光滑的填充,周期延长,边界值复制(均衡)。

DWT的基本算法并不局限于二元长度和基于一个简单的计划:卷积和将采样。像往常一样,当一个卷积进行有限长信号,边界出现扭曲。

信号扩展:零填充、均衡和光滑的填充

处理边界失真,边境应该区别对待其他部分的信号。

可用各种方法来处理这个问题,被称为“小波间隔”[1]。这些有趣的结构在理论上是有效的但并不完全令人满意的从实用的观点。

通常最好使用简单的基于信号计划扩展边界。这涉及到一些额外的系数的计算分解过程的每个阶段获得一个完美的重建。应该注意的是,需要扩展在每个阶段的分解过程。

细节这些计划的基本原理是在第8章的书小波和过滤器银行斯特朗和阮[2]。

可用的信号如下(见扩展模式dwtmode):

补零(“zpd”):该方法用于DWT前面几节中给出的版本,并假设原始信号为零以外的支持。金宝app
补零是不连续的缺点在边境都是人造的。
均衡(“符号”):这种方法假定信号或图像可以恢复原来的支持外对称边界值复制。金宝app
它的默认模式是小波变换在工具箱。
均衡的缺点是人为创造的一阶导数不连续边界,但这种方法一般适用于图像。
光滑的填充顺序1(“社会民主党”或“sp1”):这种方法假定信号或图像外可以恢复原来的支持通过一个简单的一阶导数的推断:填充使用一个线性扩展适合前两个和两个值。金宝app
光滑的填充一般适用于平稳信号。
顺利填充为0(“sp0”):这种方法假定信号或图像可以通过一个简单的恢复原来的支持外不断外推。金宝app一个信号扩展的重复第一个值左边和右边最后一个值。
Periodic-padding (1)(“产后抑郁症”):这种方法假定信号或图像可以恢复原来的支持周期外扩展。金宝app
周期性的填充是不连续的缺点在边境都是人造的。

与这五种模式相关联的DWT略有多余。但得到确保一个完美的重建的前五个模式用于DWT的扩展模式。

Periodic-padding (2)(“每”):如果信号长度是奇数,信号首先扩展添加一个extra-sample等于右边的最后一个值。然后执行最小周期延长。同样的规则存在的图像。这个扩展模式用于SWT(一维、二维)。

最后一个模式产生最小的长度小波分解。但扩展模式用于得到必须相同,以确保一个完美的重建。

之前看一个说明性的例子,让我们比较理论离散小波变换的一些性质和实际的DWT。

DWT理论应用到信号上定义一个无限长时间间隔(Z)。对于一个正交小波,这种变换具有以下的特性:

规范保存
让cA和cDDWT系数的近似和细节无限长度的信号X。然后l²规范保存:

为X为²=为cA为²+为cD为²
正交性
让一个和D重建的逼近和细节。然后,一个和D是正交的,

为X为²=为一个为²+为D为²
完美的重建

X=一个+D

自从DWT应用于信号定义在有限长时间间隔,扩展需要分解和截断重建是必要的。

确保关键属性3(完美重建)任意的选择

信号的长度
小波
扩展模式

的属性1和2可能会丢失。这些属性通常适用于延长长度的信号比原始信号的长度。所以只有完美重建房地产总是保存。然而,如果使用周期扩展模式执行DWT ('每”),如果信号能被2整除的长度^J,在那里J是最大级别分解,属性1,2,3仍然是正确的。

实际考虑

打开脚本

DWT迭代步骤包括过滤之后,将采样:

应用低通滤波器由两个获得近似系数。然后downsample
应用高通滤波器由两个获得细节系数。然后downsample

所以从概念上讲,近似系数的数量一半的数量样品,和同样的细节系数。

在现实世界中,我们处理有限长度的信号。的欲望理论DWT算法应用到实际,边界条件的问题必须解决:信号应如何扩展吗?

在调查不同的场景之前,保存当前边界扩展模式。

origmodestatus = dwtmode (“状态”,“nodisplay”);

周期,2的幂

考虑下面的例子。加载noisdopp数据。信号有1024个样本,这是2的幂。使用dwtmode设置扩展模式周期。然后使用wavedec获得三级DWT使用正交信号的db4小波。

负载noisdopp;x = noisdopp;列弗= 3;wav =“db4”;dwtmode (“每”,“nodisp”)(c, bk) = wavedec (x,列弗,wav);汉堡王

bk = 128 128 256 512 1024

簿记向量汉堡王包含系数的数量水平。在每个阶段,细节系数的数量减少了2倍。最后, 美元1024/2 ^ 3 = 128美元近似系数。

比较 l ^ 2美元规范。

流(“l2-norm的区别:% .5g \ n”总和(x ^ 2)之和(c ^ 2))。

e-09 l2-norm区别:9.0658

获得重建近似和细节通过设置为0的适当部分系数向量c和逆DWT。

残雪= c;残雪(bk(1) + 1:结束)= 0;reconApp = waverec (cx, bk, wav);残雪= c;残雪(1:bk (1)) = 0;reconDet = waverec (cx, bk, wav);

检查正交性。

流(“正交性差异% .4g \ n”,…sum (x) ^ 2)——(和(reconApp。^ 2) +和(reconDet ^ 2)))

正交性差异1.816 e-08

检查完美重建。

流(“完美重建的区别:% .5g \ n ',…马克斯(abs (x - (reconApp + reconDet))));

e-11完美重建的区别:1.674

这三个理论DWT属性保存。

周期,而不是2的幂

现在获得三级DWT 1026个样本的一个信号。使用相同的小波和扩展模式。的系数n不均匀划分信号长度。

x = [0 0 noisdopp];[c, bk] = wavedec (x,列弗,wav);汉堡王

bk = 129 129 257 513 1026

检查 l ^ 2美元规范保存、正交性和完美的重建。

残雪= c;残雪(bk(1) + 1:结束)= 0;reconApp = waverec (cx, bk, wav);残雪= c;残雪(1:bk (1)) = 0;reconDet = waverec (cx, bk, wav);流(“l2-norm的区别:% .5g \ n”总和(x ^ 2)之和(c。^ 2))流(“正交性差异% .4g \ n”,…sum (x) ^ 2)——(和(reconApp。^ 2) +和(reconDet ^ 2)))流(“完美重建的区别:% .5g \ n ',…马克斯(abs (x - (reconApp + reconDet))));

l2-norm区别:-1.4028正交性差异-0.3319完美重建的区别:1.6858 e-11

完美的重建是满意的,但是 l ^ 2美元规范和正交性不保留。

不定期,2的幂

获得三级1024 DWT的一个信号。使用相同的小波如上,但这一次改变秩序的扩展模式平滑扩展1。的系数n不均匀划分信号长度。

dwtmode (“sp1”,“nodisp”)(c, bk) = wavedec (x,列弗,wav);汉堡王

bk = 134 134 261 516 1026

检查 l ^ 2美元规范保存、正交性和完美的重建。

残雪= c;残雪(bk(1) + 1:结束)= 0;reconApp = waverec (cx, bk, wav);残雪= c;残雪(1:bk (1)) = 0;reconDet = waverec (cx, bk, wav);流(“l2-norm的区别:% .5g \ n”总和(x ^ 2)之和(c。^ 2))流(“正交性差异% .4g \ n”,…sum (x) ^ 2)——(和(reconApp。^ 2) +和(reconDet ^ 2)))流(“完美重建的区别:% .5g \ n ',…马克斯(abs (x - (reconApp + reconDet))));

l2-norm区别:-113.58正交性差异-2.678完美重建的区别:1.6372 e-11

再次,只有完美的重建是满意。

恢复原来的扩展模式。

dwtmode (origmodestatus“nodisplay”);

支持完金宝app美重建任意长度的选择信号,小波,和扩展模式,我们使用帧小波。

一个框架是一组函数 $\ {\ phi_k \}$ 满足以下条件:存在常数 $0 < \ leq B美元$ 这样,对于任何函数 $ f $ ,框架不平等是适用的: $$ {\ | f \ |} ^ 2 \ leq \ Sigma_k {| \ langle f \ phi_k \捕杀|}^ 2 \ leq B {f \ \ | |} ^ 2美元$

在一个框架的功能一般不线性无关的。这意味着函数 $ f $ 没有一个独特的扩张吗 $\ phi_k美元$ 。Daubechies[3]显示,如果 $美元\{\波浪号{\φ}_k \} $$ 双框架和吗 $f = \ Sigma_ {k \在k} c_k \ phi_k$ 对于一些 $$ c = \离开(c_k \) \ l ^ 2美元(K)$ ,如果不是全部的话 c_k美元平等的 $美元\ langle f \波浪号{\φ}_k \纠正美元$ ,然后 $$ \ Sigma_ {k \在k} {| c_k |} ^ 2 \组\ Sigma_ {k \在k} {| \ langle f \波浪号{\φ}_k \纠正|}^ 2美元$ 。

如果 A = B美元 ,称为帧紧框架。如果 A = B = 1美元和 $美元\ | \ phi_k \ | ^ 2 = 1美元$ 对所有 $\ phi_k美元$ 框架是一组标准正交基。如果 $B \ neq美元$ ,那么能源不一定是保存和系数的总数可能超过长度的信号。如果扩展模式是周期性的,正交小波,信号长度是整除 ^ J $ 2美元 ,在那里 $ J $ 是小波分解的最大级别,所有三个理论DWT属性是满意。

任意扩展

打开生活的脚本

有趣的是注意到,如果使用一个任意扩展,并使用convolution-downsampling分解执行计划,完美的重建恢复使用得到或idwt2。

创建一个信号,并获得相关的过滤器db9小波。

x =罪(0.3 * [1:451]);w =“db9”;[LoD,藏,生气,HiR] = wfilters (w);

附加和预谋长度(LoD)随机数字信号。绘制原始和扩展信号。

lx =长度(x);如果长度= (LoD);前女友= [randn(低频)x randn(低频)];ymin = min(特异);ymax = max(特异);次要情节(2,1,1)情节(低频+ 1:低频+ lx, x)轴([1 lx + 2 *低频ymin ymax]);标题(原始信号的次要情节(2,1,2)情节(特异)标题(“扩展信号”)轴([1 lx + 2 *低频ymin ymax])

图包含2轴对象。坐标轴对象1标题原始信号包含一个类型的对象。坐标轴对象2标题扩展信号包含一个类型的对象。

利用小波分解低通和高通滤波器获得扩展的一级小波分解信号。

la地板= ((lx + lf-1) / 2);基于“增大化现实”技术= wkeep (dyaddown (conv (ex, LoD)),洛杉矶);博士= wkeep (dyaddown (conv (ex、藏)),洛杉矶);

确认的完美重建信号。

xr =得到(ar,博士,w, lx);err0 = max (abs (x-xr))

err0 = 5.4700 e-11

扩展的差异比较

现在让我们说明前三种方法之间的差异对一维及二维信号。

补零

使用小波分析应用程序,我们将检查补零的影响。

从MATLAB^®提示,输入
```
dwtmode (“zpd”)
```
从MATLAB提示类型waveletAnalyzer。
的小波分析仪出现了。
单击小波一维菜单项。离散小波分析工具对一维信号数据出现。
从文件菜单,选择实例分析选择和选择基本信号与db2 > 5级>两个附近的不连续性。
选择显示模式:显示和滚动。
细节系数明显显示信号端效应。

对称扩展
从MATLAB提示类型
```
dwtmode(对称)
```
单击小波一维菜单项。
离散小波分析工具对一维信号数据出现。
从文件菜单,选择实例分析选择和选择基本信号>db2在5级>两个附近的不连续性。
选择显示模式:显示和滚动。
细节系数明显显示信号端效应。

光滑的填充
从MATLAB提示类型
```
dwtmode (spd)
```
单击小波一维菜单项。
离散小波分析工具对一维信号数据出现。
从文件菜单,选择实例分析选择和选择基本信号>与db2在5级>两个附近的不连续性。
选择显示模式:显示和滚动。
细节系数显示信号端效应不存在,和不连续性检测。

图像扩展

打开生活的脚本

现在让我们考虑一个形象的例子。保存当前扩展模式。加载和显示几何的形象。

origmodestatus = dwtmode (“状态”,“nodisplay”);负载几何nbcol =大小(图1);colormap(粉红色(nbcol))图像(wcodemat (X, nbcol))

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含一个类型的对象的形象。

补零

设置扩展模式,零填充和执行分解图像的3级使用sym4小波。然后重建三级的近似。

列弗= 3;wname =“sym4”;dwtmode (“zpd”,“nodisp”)(c, s) = wavedec2 (X,列弗,wname);一个= wrcoef2 (“一个”c s wname,列弗);图像(wcodemat (a, nbcol))

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含一个类型的对象的形象。

对称扩展

扩展模式设置为对称扩展和执行分解图像的3级使用sym4小波。然后重建三级的近似。

dwtmode (“符号”,“nodisp”)(c, s) = wavedec2 (X,列弗,wname);一个= wrcoef2 (“一个”c s wname,列弗);图像(wcodemat (a, nbcol))

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含一个类型的对象的形象。

光滑的填充

设置扩展模式的顺利填充和执行分解图像3级使用sym4小波。然后重建三级的近似。

dwtmode (“社会民主党”,“nodisp”)(c, s) = wavedec2 (X,列弗,wname);一个= wrcoef2 (“一个”c s wname,列弗);图像(wcodemat (a, nbcol))

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含一个类型的对象的形象。

恢复原来的扩展模式。

dwtmode (origmodestatus“nodisplay”)

引用

[1]科恩。,I. Daubechies, B. Jawerth, and P. Vial. "Multiresolution analysis, wavelets and fast algorithms on an interval."政府建筑渲染的专科学校科学。巴黎爵士。一个卷,316年,第421 - 417页,1993年。

[2]斯特朗,G。,T. Nguyen.小波和过滤器银行。韦尔斯利,MA: Wellesley-Cambridge出版社,1996年。

[3]Daubechies,我。十个专题小波系列应用数学,CBMS-NSF区域会议。费城,宾夕法尼亚州:暹罗,1992年。

另请参阅

wavedec|dwtfilterbank