幂律过程

与无尺度动力学信号自相关的一个重要类或功率谱密度(PSD)遵循幂律。幂律的过程有一个PSD的形式 $$C|\omega {|}^{-\; -\; -\; -\; -\; -\alpha }$$对于一些正的常数, $$C$$,一些指数 $$\alpha$$。在某些情况下,幂律PSD信号感兴趣的展品。在其他情况下,感兴趣的信号噪声是幂律PSD。这些声音通常被称为彩色的。能够估计这些过程的指数从实现有着重要的影响。首先,它允许您推断机制生成数据以及提供实证证据支持或反对理论预测。金宝app对于一个幂律的干扰噪声PSD,它有助于设计有效的过滤器。

布朗噪音,或一个布朗的过程,就是这样一个有色噪声过程理论的倡导者 $$\alpha =2$$。一种估计指数幂律过程是符合最小二乘PSD的重对数坐标图。

负载brownnoise;[Pxx F] = pwelch (brownnoise凯瑟(1000年,10),500年,1000年,1);情节(log10 (F(2:结束),log10 (Pxx(2:结束)));网格在;包含(“log10 (F)”);ylabel (“log10 (Pxx)”);标题(PSD估计的重对数坐标图)

回归日志PSD值日志的频率。请注意你必须忽略零频率以避免零的日志。

Xpred =[(长度(F(2:结束),1)log10 (F(2:结束)));b = lscov (Xpred log10 (Pxx(2:结束)));y = b (1) + (2) * log10 (F(2:结束);持有在;情节(log10 (F(2:结束),y,“r——”);标题([“估计斜率是”num2str (b (2))));

或者,您可以使用离散和连续小波分析技术来评估指数。持有人之间的关系指数,H,返回的dwtleader和wtmm和 $$\alpha$$这个场景是 $$\alpha =2H+1$$。

[dhbrown, hbrown cpbrown] = dwtleader (brownnoise);hexp = wtmm (brownnoise);流(“小波领导人估计是% 1.2 f \ n '2 * cpbrown (1) 1);

小波领导人估计是-1.91

流(“WTMM估计是% 1.2 f \ n”,2 * hexp-1);

WTMM估计是-2.00

在这种情况下,估计得到的最小二乘直线拟合的日志PSD估计和用小波方法获得良好的协议。

多重分形分析

有许多真实世界的信号表现出非线性幂律的行为取决于高阶的时刻和规模。多重分形分析提供了一种方法来描述这些信号。多重分形分析包括决定是否存在某种类型的幂律扩展各种统计在不同尺度的时刻。如果这个扩展行为的特征是一个指数,或等价的线性函数的时刻,这个过程monofractal。如果扩展行为的规模是一个非线性函数的时刻,这个过程多重分形。前一节的布朗噪音是monofractal过程的一个例子,这是证明在后面的部分。

来说明分形分析可以揭示信号结构不明显更经典的信号处理技术,负载RWdata.mat它包含两个时间序列(壹空间和Ts2),8000个样本。图数据。

负载RWdata;图;情节([壹空间Ts2]);网格在;传奇(“壹空间”,“Ts2”,“位置”,“东北”);包含(“时间”);ylabel (“振幅”);

信号的二阶统计数据非常相似。如果你看一下意思,均方根值和方差壹空间和Ts2值是几乎相同的。PSD估计也很相似。

pwelch(壹空间Ts2, kaiser (1 e3, 10))

时间序列的自相关序列衰减很慢,不是区分时间序列信息。

[xc1之前,落后]= xcorr (Ts1,300,“系数”);xc2 = xcorr (Ts2,300,“系数”);次要情节(2,1,1)hs1 =茎(滞后(301:结束),xc1之前(301);hs1。标志=“没有”;标题(“壹空间自相关序列”);次要情节(2,1,2)那么hs2 =茎(滞后(301:结束),xc2(301:结束);那么hs2。标志=“没有”;标题(“Ts2的自相关序列”);包含(“滞后”)

300年的滞后甚至自我分别为0.94和0.96。

这些信号是非常不同的,这揭示了分形分析。计算和绘制两个信号的多重分形谱。在多重分形分析,基于所谓的离散小波技术小波的领导人是最强劲的。

(《死亡,h1, cp1 tauq1] = dwtleader(壹空间);[dh2, h2, cp2 tauq2] = dwtleader (Ts2);图;惠普=情节(h1,《死亡,“这”、h2、dh2“b - ^”);惠普(1)。MarkerFaceColor =“b”;惠普(2)。MarkerFaceColor =“r”;网格在;包含(“h”);ylabel (“D (h)”);传奇(“壹空间”,“Ts2”,“位置”,“东北”);标题(多重分形谱的);

多重分形谱有效地展示了一个信号扩展指数的分布。同样,多重分形谱提供了一个衡量当地信号变化规律。信号是monofractal展品基本相同的规律在时间,因此与狭窄的多重分形谱的支持。金宝app相反,一个多重分形信号展品信号规律随时间的变化,多重分形谱与更广泛的支持。金宝app从这里显示的多重分形谱,Ts2,似乎是一个monofractal信号特点是一群比例指数约为0.78。另一方面,壹空间演示了一个宽领域的扩展指数表明它是多重分形。注意的总范围扩展(持有人)指数Ts2只有0.14,4.6倍吗壹空间。Ts2实际上是一个monofractal分数布朗运动(fBm)过程霍尔德指数为0.8,壹空间是一个多重分形随机漫步。

您还可以使用输出标度指数dwtleader随着第二累积量帮助分类过程monofractal与多重分形。回忆monofractal的过程有一个线性标度律的函数统计时刻,而多重分形的过程有一个非线性标度律。dwtleader使用时刻的范围从5到5估计这些扩展法。阴谋fBm和多重分形标度指数的随机漫步(股价)过程显示了差异。

图(5、tauq1“这”5、tauq2的r - ^);网格在;包含(“Q-th时刻”);ylabel (“扩展指数”);标题(“扩展指数”);传奇(“股价”,“fBm”,“位置”,“东南”);

fBm进程的标度指数是一个线性函数的时刻,而股价的指数显示偏离线性过程。相同的信息总结了1日,2日,3日累积量。第一个累积量是斜率的估计,换句话说,它抓住了线性行为。第二个第一偏离线性累积量捕获。你可以把第二个累积量作为二阶系数(二次),而第三累积量特征更复杂的离职,从线性标度指数。如果你检查第二和第三股价累积量的过程中,他们是6和42倍对应的累积量fBm数据。在后一种情况下,第二和第三累积量几乎为零。

相比之下,加上布朗噪声的多重分形谱计算在前面的例子。

惠普=情节(h1,《死亡,“这”、h2、dh2“b - ^”hbrown dhbrown,' r v ');惠普(1)。MarkerFaceColor =“b”;惠普(2)。MarkerFaceColor =“r”;惠普(3)。MarkerFaceColor =“k”;网格在;包含(“h”);ylabel (“D (h)”);传奇(“壹空间”,“Ts2”,“布朗噪音”,“位置”,“东南”);标题(多重分形谱的);

过程的下一个在哪里?持久和Antipersistent行为

分数布朗过程(Ts2)和布朗噪音monofractal系列。然而,一个简单的情节两个时间序列表明,他们似乎完全不同。

次要情节(2,1,1)情节(brownnoise);标题(“布朗噪音”);网格在;轴紧;次要情节(2,1,2)情节(Ts2);标题(“fBm H = 0.8”);网格在;轴紧;

fBm数据比布朗噪声更为顺畅。布朗噪音,也称为随机游走,理论持有者指数为0.5。这个值形式过程与霍尔德指数之间的边界,从0 H, H < 0.5和<霍尔德指数在间隔0.5 < H < 1。前者被称为antipersistent展览和短期记忆。后者被称为持续的和展览长记忆。antipersistent时间序列,增加价值在时间t是跟着下降值在时间t + 1高概率。同样,减少在时间t的值通常是紧随其后的是增加价值在时间t + 1。换句话说,时间序列往往总是回到其平均值。持续的时间序列,增加价值往往是紧随其后的是后续增加而减少的价值往往是紧随其后的是随后的减少。

看到antipersistent时间序列的一些实际的例子,加载和分析日常日志返回台湾加权和韩国综合股票指数。指数的每日返回覆盖近似周期从7月,1997年到2016年4月,。

负载StockCompositeData;次要情节(2,1,1)情节(SeoulComposite);标题(“首尔综合指数——07/1997-04/2016”);ylabel (“日志返回”);网格在;次要情节(2,1,2);情节(TaiwanWeighted);标题(“台湾加权指数——07/1997-04/2016”);ylabel (“日志返回”);网格在;

获得和情节这两个时间序列的多重分形谱。

[dhseoul, hseoul cpseoul] = dwtleader (SeoulComposite);[dhtaiwan, htaiwan cptaiwan] = dwtleader (TaiwanWeighted);图;情节(hseoul dhseoul,“这”,“MarkerFaceColor”,“b”);持有在;情节(htaiwan dhtaiwan,的r - ^,“MarkerFaceColor”,“r”);包含(“h”);ylabel (“D (h)”);网格在;标题(多重分形谱的);

多重分形谱,很明显,这两个时间序列antipersistent。相比之下,情节两个金融时间序列的多重分形谱以及布朗噪音和fBm数据显示。

情节(hbrown dhbrown,离子束进行的,“MarkerFaceColor”,“k”);情节(h2, dh2“b - *”,“MarkerFaceColor”,“b”);传奇(“首尔综合”,“台湾加权指数”,“布朗噪音”,“FBM”,…“位置”,“东南”);持有从;

确定流程antipersistent或持续是有用的在预测未来。例如,与长记忆时间序列,增加可以将继续增加。而时间序列可以将展品antipersistence相反的方向移动。

测量分形动力学的心率变异性

正常人体心率变异性测定RR间隔显示多重分形行为。进一步减少这种非线性缩放行为是好的心脏疾病甚至死亡的预测因子。

作为一个例子的诱导心率变异性的分形动力学的变化,考虑病人注射前列腺素E1由于严重的高血压发作。数据是RHRV的一部分,一个R-based软件包进行心率变异性分析。作者请授予许可的使用在这个例子。

数据加载和阴谋。垂直红线标志着开始的影响前列腺素E1在心率和心率变异性。

负载hrvDrug;情节(hrvDrug);网格在;持有在;情节(4642 [4642],[min (hrvDrug)马克斯(hrvDrug)],“r”,“线宽”2);持有从;ylabel (“心跳”);包含(“样本”);

把数据分成pre-drug和post-drug数据集。获得和情节两个时间序列的多重分形谱。

predrug = hrvDrug (1:4642);postdrug = hrvDrug(4643:结束);[dhpre, hpre] = dwtleader (predrug);[dhpost, hpost] = dwtleader (postdrug);图;hl =情节(hpre dhpre,“罪犯”hpost dhpost,的r - ^);霍奇金淋巴瘤(1)。MarkerFaceColor =“b”;霍奇金淋巴瘤(2)。MarkerFaceColor =“r”;包含(“h”);ylabel (“D (h)”);网格在;传奇(“Predrug”,“Postdrug”);标题(多重分形谱的);包含(“h”);ylabel (“D (h)”);

药物的感应已经导致了分形频谱的宽度降低50%。这表明显著减少心脏的非线性动力学以心率变异性。在这种情况下,分形维数的减少是医学干预的一部分。在不同的背景下,研究群体健康的个人和充血性心力衰竭患者的多重分形谱表明,差异可以区分这些组。具体来说,显著减少多重分形谱的宽度是一个心脏功能障碍的标志。

引用

L . Rodriguez-Linares L。,A.J. Mendez, M.J. Lado, D.N. Olivieri, X.A. Vila, and I. Gomez-Conde, "An open source tool for heart rate variability spectral analysis", Computer Methods and Programs in Biomedicine, 103(1):39-50,2011.

比,h . Abry, P。“分测试使用引导小波领导人”,IEEE反式。信号处理、55卷,没有。10日,4811 - 4820年,2007页。

比,H。,Abry, P., and Jaffard, S. "Bootstrap for empirical multifractal analysis", IEEE Signal Processing Magazine, 24, 4, 38-48, 2007.

Jaffard, S。,Lashermes, B., and Abry, P. "Wavelet leaders in multifractal analysis". In T. Qian, M.I. Vai and X. Yuesheng, editors. Wavelet Analysis and Applications, pp. 219-264, Birkhauser, 2006.