既定の設定で研究生院理事会を使用して正方線形システムを解いてから,解法プロセスで使用される許容誤差と反復回数を調整します。

密度が 50% の乱数スパース行列一个を作成します。また, $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$の右辺に乱数のベクトルを作成します。

rng违约5 = sprand (600600);A = A'*A + speye(size(A));b =兰德(600 1);

研究生院理事会を使用して $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$を解きます。出力の表示には相対残差誤差 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$の値が含まれます。

x=cgs（A，b）；

CGS在迭代20时停止，没有收敛到期望的公差1e-06，因为已经达到了最大的迭代次数。迭代返回(编号20)的相对残差为0.068。

既定では研究生院理事会は20回の反復と1e-6の許容誤差を使用し,アルゴリズムはこの行列について,その20回の反復内で収束できません。残差がまだ大きいため,より多くの反復(または前処理行列)が必要であることを示しています。より大きな許容誤差を使用して,アルゴリズムの収束をより簡単にすることもできます。

1e-4の許容誤差と 40回の反復を使用して、再度方程式系を解きます。

研究生院理事会x = (A, b, 1的军医,40);

CGS在迭代40时停止，没有收敛到期望的公差0.0001，因为已经达到了最大的迭代次数。迭代返回(编号40)的相对剩余值为0.0024。

許容誤差が緩く,反復回数が多い場合でも,研究生院理事会は収束しません。反復アルゴリズムがこの方法で停滞する場合,前処理行列が必要であることを示しています。

一个の不完全コレスキー分解を計算し,研究生院理事会への前処理行列入力としてl因子を使用します。

L=ichol（A）；x=cgs（A，b，1e-4,40，L）；

cgs在第14次迭代时收敛到一个相对残差为1.4e-05的解。

前処理行列を使用すると,研究生院理事会が収束できるまで問題の数値特性が向上します。

線形システムを解くために前処理行列を研究生院理事会と使用する効果を調べます。

479行479列の非対称実スパース行列west0479を読み込みます。

负载west0479一个= west0479;

$\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$に対する真の解がすべて1のベクトルになるように,bを定義します。

b=总和（A，2）；

許容誤差と最大反復回数を設定します。

tol=1e-12；最大值=20；

研究生院理事会を使用して,要求された許容誤差と反復回数で解を求めます。解法プロセスに関する情報を返す出力を5つ指定します。

[x，fl0，rr0，it0，rv0]=cgs（A，b，tol，maxit）；fl0

fl0=1

rr0

rr0 = 1

it0

it0 = 0

fl0は,研究生院理事会が要求した反復回数20回以内に要求した許容誤差1e-12に収束しなかったため1となります。実際、研究生院理事会の動作が良好でないために初期推定x0=零（尺寸（A，2），1）が最適解であり、it0 = 0で示されるとおり,これが返されます。

遅い収束への対応として、前処理行列を指定できます。一个は非対称であるため,iluを使用して前処理行列 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$を生成します。棄却許容誤差を指定して,1e-6よりも小さい値をもつ非対角エントリを無視します。研究生院理事会への入力としてlおよびUを指定して、前処理された系 ${\mathit{一个}\mathit{米}}^{-1}\mathit{米}\mathit{x}＝\mathit{b}$を解きます。

setup=struct(“类型”，“ilutp”，“droptol”，1e-6）；[L，U]=ilu（A，设置）；[x1，fl1，rr1，it1，rv1]=cgs（A，b，tol，maxit，L，U）；fl1

fl1 = 0

rr1

rr1=4.3850e-14

it1

it1 = 3

ilu前処理行列を使用すると,3回目の反復で1e-12の指定の許容誤差より少ない相対残差が生成されます。出力rv1 (1)は标准（b）、出力rv1（完）は范数（b-A*x1）になります。

各反復での相対残差をプロットして,研究生院理事会の進行状況を確認できます。指定された許容誤差のラインと共に,それぞれの解の残差履歴をプロットします。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在…上符号学（0：长度（rv1）-1，rv1/范数（b），“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有预调节器”，ILU预处理的，“宽容”，“位置”，“东”)xlabel(“迭代次数”) ylabel (的相对剩余的）

研究生院理事会に解の初期推定を指定する効果を調べます。

三重対角スパース行列を作成します。 $\mathit{x}$の想定される解が1のベクトルとなるよう, $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$の右辺のベクトルとして各行の合計を使用します。

n=900；e=一（n，1）；A=spdiags（[e2*ee]，-1:1，n，n）；b=总和（A，2）；

研究生院理事会を使用して $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$を 2.回解きます。1.回は既定の初期推定、もう 1.回は解の適切な初期推定を使用します。両方の解に対して 200回の反復と既定の許容誤差を使用します。すべての要素が0.99と等価のベクトルとして初期推定を2番目の解に指定します。

麦克斯特= 200;x1 =研究生院理事会(A, b,[],麦克斯特);

cgs在迭代17时收敛到一个相对残差为8.8e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 =研究生院理事会(A, b,[],麦克斯特[],[],x0);

CGS在第4次迭代时收敛到一个相对残差为8e-07的解。

この場合、初期推定を指定すると研究生院理事会をより迅速に収束させることができます。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] =研究生院理事会(A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

研究生院理事会に、係数行列一个の代わりに* xを計算する関数ハンドルを与えて線形システムを解きます。

陈列室で生成されたウィルキンソンのテスト行列の1つは21行21列の三重対角行列です。行列をプレビューします。

一个=画廊(“wilk”,21)

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

ウィルキンソン行列の構造は特殊なため,演算* xを関数ハンドルで表すことができます。一个がベクトルを乗算する場合,結果のベクトルのほとんどの要素はゼロとなります。結果の非ゼロ要素は,一个の非ゼロの三重対角要素に対応します。さらに,主対角のみに1と等しくない非ゼロ要素があります。

式 $\mathrm{斧头}$は次のようになります。

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$

結果のベクトルは3つのベクトルの合計として記述できます。

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{c}0+10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20}+10{\mathit{x}}_{21}+0\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20}\end{array}］+［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$

MATLAB®で、これらのベクトルを作成および合算することにより* xの値を与える関数を記述します。

函数Y = [0;x (1:20)] +...[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +...[x（2:21）；0]；结束

(この関数は,ローカル関数として例の最後に保存されています)

ここで,研究生院理事会に* xを計算する関数ハンドルを与えて,線形システム $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$を解きます。1e-12の許容誤差と50回の反復を使用します。

1 b = 1(21日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 50;x1 =研究生院理事会(@afun, b,托尔,麦克斯特)

CGS在迭代11时收敛到一个相对残差为1.3e-14的解。

x1 =21日×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000 ⋮

afun (x1)が 1.のベクトルを生成していることを確認します。

afun (x1)

ans =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 ⋮

函数Y = [0;x (1:20)] +...[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +...[x（2:21）；0]；结束