既定の設定でsymmlqを使用して正方線形システムを解いてから,解法プロセスで使用される許容誤差と反復回数を調整します。

スパース三重対角行列一个を,係数行列として作成します。 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$の右辺に $\mathit{一个}$の密な行の合計をベクトルとして使用し,解 $\mathit{x}$が1のベクトルとなると想定されるようにします。

n = 400;= 1 (n, 1);A = spdiags([-2*on 4*on -2*on]，-1:1,n,n);b =全(sum (A, 2));

symmlqを使用して $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$を解きます。出力の表示には相対残差誤差 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$の値が含まれます。

x = symmlq (A, b);

Symmlq在迭代20时停止，没有收敛到期望的容忍值1e-06，因为已经达到了最大的迭代次数。返回的iterate(编号20)的相对残差为0.045。

既定ではsymmlqは20回の反復と1 e-6の許容誤差を使用し,アルゴリズムはこの行列について,その20回の反復内で収束できません。残差が1)依照程度であり,これはより多くの反復が必要であることをよく示しています。より大きな許容誤差を使用して,アルゴリズムの収束をより簡単にすることもできます。

1的军医の許容誤差と250回の反復を使用して,再度方程式系を解きます。

x = symmlq (A, b, 1 e - 4250);

Symmlq在第199次迭代时收敛到一个相对残差为1.5e-14的解。

線形システムを解くために前処理行列をsymmlqと使用する効果を調べます。

対称正定値の,バンド係数行列を作成します。

一个= delsq (numgrid (“年代”, 102));

$\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$に対する真の解がすべて1のベクトルになるように,bを定義します。

b =和(2);

許容誤差と最大反復回数を設定します。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 100;

symmlqを使用して,要求された許容誤差と反復回数で解を求めます。この求解プロセスについての情報を返す6つの出力を指定します。

[x, fl0 rr0, it0 rv0, rvcg0] = symmlq (A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 0.0031

it0

it0 = 100

fl0は,symmlqが要求した反復回数100回以内に要求した許容誤差1 e-12に収束しなかったため,1となります。

収束を助けるため,前処理行列を指定できます。一个は対称であるため,icholを使用して前処理行列 $\mathit{米}＝\mathit{l}{\mathit{l}}^{\mathit{T}}$を生成します。“信息与通信技术”オプションを指定してしきい値棄却による不完全コレスキー分解を使用し,1 e-6の対角シフト値を指定して非正のピボットを回避します。symmlqへの入力としてlおよびL 'を指定して,前処理された方程式系を解きます。

设置=结构(“类型”，“信息与通信技术”，“diagcomp”1 e-6“droptol”1 e-14);L = ichol(设置);(x1, fl1 rr1、it1 rv1, rvcg1] = symmlq (A, b,托尔,麦克斯特,L, L ');fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 2.5636 e15汽油

it1

it1 = 3

ichol前処理行列を使用すると,問題の数値特性が大きく改善され,symmlqはより迅速に収束することができます。出力rv1 (1)は规范(b)、出力rv1(结束)は规范(b * x1)になります。

各反復での相対残差をプロットして,symmlqの進行状況を確認できます。各解の共役勾配の残差履歴を,指定された許容誤差の線とともにプロットします。

semilogy(0:长度(rvcg0) 1, rvcg0 /规范(b),“o”)举行在semilogy(0:长度(rvcg1) 1, rvcg1 /规范(b),“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有预调节器”，“ICHOL预处理”，“宽容”，“位置”，“东南”)包含(的迭代次数) ylabel (的相对剩余的）

symmlqに解の初期推定を指定する効果を調べます。

三重対角スパース行列を作成します。 $\mathit{x}$の想定される解が1のベクトルとなるよう, $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$の右辺のベクトルとして各行の合計を使用します。

n = 900;e =的(n - 1);A = spdiags([e 2*e e]，-1:1,n,n);b =和(2);

symmlqを使用して $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$を2回解きます。1回は既定の初期推定、もう 1 回は解の適切な初期推定を使用します。両方の解に対して 200 回の反復と既定の許容誤差を使用します。すべての要素が0.99と等価のベクトルとして初期推定を2番目の解に指定します。

麦克斯特= 200;x1 = symmlq (A, b,[],麦克斯特);

Symmlq在第34次迭代时收敛到一个相对残差为9.5e-07的解。

x0 = 0.99 * e;x2 = symmlq(麦克斯特,A, b, [] [], [], x0);

Symmlq在第6次迭代时收敛到一个相对残差为8.7e-07的解。

この場合,初期推定を指定するとsymmlqをより迅速に収束させることができます。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = symmlq (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

symmlqに,係数行列一个の代わりに* xを計算する関数ハンドルを与えて線形システムを解きます。

画廊で生成されたウィルキンソンのテスト行列の1つは21行21列の三重対角行列です。行列をプレビューします。

一个=画廊(“wilk”, 21)

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0121000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮

ウィルキンソン行列の構造は特殊なため,演算* xを関数ハンドルで表すことができます。一个がベクトルを乗算する場合,結果のベクトルのほとんどの要素はゼロとなります。結果の非ゼロ要素は,一个の非ゼロの三重対角要素に対応します。さらに,主対角のみに1と等しくない非ゼロ要素があります。

式 $\mathrm{斧头}$は次のようになります。

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$

結果のベクトルは3つのベクトルの合計として記述できます。

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{c}0+10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}+0\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$

MATLAB®で,これらのベクトルを作成および合算することにより* xの値を与える関数を記述します。

函数Y = [0;x (1:20)] +.．.[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +.．.[x (21);0);结束

(この関数は,ローカル関数として例の最後に保存されています)

ここで,symmlqに* xを計算する関数ハンドルを与えて,線形システム $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$を解きます。1 e-12の許容誤差と50回の反復を使用します。

1 b = 1(21日);托尔= 1 e-12;麦克斯特= 50;x1 = symmlq (@afun, b,托尔,麦克斯特)

Symmlq在迭代10时收敛到一个相对残差为4.5e-16的解。

x1 =21日×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

afun (x1)が1のベクトルを生成していることを確認します。

afun (x1)

ans =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

函数Y = [0;x (1:20)] +.．.[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +.．.[x (21);0);结束