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什么是线性回归模型？

线性回归模型描述了a之间的关系依赖变量那y，一个或多个独立变量那X。依赖变量也称为响应变量。还称为独立变量解释性或者预测变量。也称为连续预测变量协变量而且还称为分类预测变量因素。矩阵X关于预测变量的观察通常称为设计矩阵。

多元线性回归模型是

$y_{一世} = β_{0.} + β_{1} X_{一世 1} + β_{2} X_{一世 2} + \dots + β_{P.} X_{一世 P.} + {ε.}_{一世} 那一世 = 1 那 \dots 那 N 那$

在哪里

y_一世是个一世回应。
β_K.是个K.系数，在哪里β_0.是模型中的常量术语。有时，设计矩阵可能包括有关常数项的信息。然而，Fitlm.或者步骤行程默认情况下包括模型中的常量术语，因此您不得在设计矩阵中输入1S列X。
X_IJ.是个一世观察jth predictor变量，j= 1，......，P.。
ε._一世是个一世TH噪声项，即随机错误。

如果模型仅包括一个预测变量（P.= 1），然后该模型被称为简单的线性回归模型。

通常，线性回归模型可以是表单的模型

$y_{一世} = β_{0.} + {σ.}_{K. = 1}^{K.} β_{K.} F_{K.} （ X_{一世 1} 那 X_{一世 2} 那 \dots 那 X_{一世 P.} ） + {ε.}_{一世} 那一世 = 1 那 \dots 那 N 那$

在哪里F（。）是独立变量的标量值函数，X_IJ.s。功能，F（X），可能是任何形式，包括非线性功能或多项式。在线性回归模型中的线性度是指系数的线性度β_K.。也就是说，响应变量，y，是系数的线性函数，β_K.。

线性模型的一些例子是：

$\begin{array}{l} y_{一世} = β_{0.} + β_{1} X_{1 一世} + β_{2} X_{2 一世} + β_{3.} X_{3. 一世} + {ε.}_{一世} \\ y_{一世} = β_{0.} + β_{1} X_{1 一世} + β_{2} X_{2 一世} + β_{3.} X_{1 一世}^{3.} + β_{4.} X_{2 一世}^{2} + {ε.}_{一世} \\ y_{一世} = β_{0.} + β_{1} X_{1 一世} + β_{2} X_{2 一世} + β_{3.} X_{1 一世} X_{2 一世} + β_{4.} 日志 X_{3. 一世} + {ε.}_{一世} \end{array}$

然而，以下是不是线性模型，因为它们在未知系数中不是线性的，β_K.。

$\begin{array}{l} 日志 y_{一世} = β_{0.} + β_{1} X_{1 一世} + β_{2} X_{2 一世} + {ε.}_{一世} \\ y_{一世} = β_{0.} + β_{1} X_{1 一世} + \frac{1}{β_{2} X_{2 一世}} + {E.}^{β_{3.} X_{1 一世} X_{2 一世}} + {ε.}_{一世} \end{array}$

线性回归模型的通常假设是：

噪音术语，ε._一世，不相关。
噪音术语，ε._一世，具有与平均零和恒定方差的独立和相同的正常分布，σ²。因此，

$\begin{array}{l} E. （ y_{一世} ） = E. （ {σ.}_{K. = 0.}^{K.} β_{K.} F_{K.} （ X_{一世 1} 那 X_{一世 2} 那 \dots 那 X_{一世 P.} ） + {ε.}_{一世} ） \\ = {σ.}_{K. = 0.}^{K.} β_{K.} F_{K.} （ X_{一世 1} 那 X_{一世 2} 那 \dots 那 X_{一世 P.} ） + E. （ {ε.}_{一世} ） \\ = {σ.}_{K. = 0.}^{K.} β_{K.} F_{K.} （ X_{一世 1} 那 X_{一世 2} 那 \dots 那 X_{一世 P.} ） \end{array}$

和

$V. （ y_{一世} ） = V. （ {σ.}_{K. = 0.}^{K.} β_{K.} F_{K.} （ X_{一世 1} 那 X_{一世 2} 那 \dots 那 X_{一世 P.} ） + {ε.}_{一世} ） = V. （ {ε.}_{一世} ） = {σ.}^{2}$

所以差异y_一世所有层面都是一样的X_IJ.。
回应y_一世是不相关的。

拟合的线性功能是

${\hat{y}}_{一世} = {σ.}_{K. = 0.}^{K.} {B.}_{K.} F_{K.} （ X_{一世 1} 那 X_{一世 2} 那 \dots 那 X_{一世 P.} ）那一世 = 1 那 \dots 那 N 那$

在哪里 ${\hat{y}}_{一世}$ 是估计的响应和B._K.S是拟合系数。估计系数以最小化预测向量之间的平均平方差 $\hat{y}$ 和真实的响应矢量 $y$ ，那是 $\hat{y} - y$ 。这种方法称为最小二乘法的方法。在噪声术语的假设下，这些系数也最大化预测向量的可能性。

在表单的线性回归模型中y=β₁X₁+β₂X₂+ ...... +β_P.X_P.，系数β_K.表达一个单位变化在预测变量中的影响，X_j，关于响应e的平均值E（y），只要所有其他变量都保持不变。系数的标志给出了效果的方向。例如，如果线性模型是E（y）= 1.8 - 2.35X₁+X₂然后-2.35表示2.35单位的平均响应减少，单位增加X₁给予X₂保持不变。如果模型是E（y）= 1.1 + 1.5X₁²+X₂，系数X₁²表示1.5单位增加的平均值y一个单位增加X₁²给予所有别的保持不变。但是，在E（y）= 1.1 + 2.1X₁+ 1.5X₁²，很难类似地解释系数，因为不可能保持X₁常数X₁²更改或反之亦然。

参考

[1]网络，J.，M.H.Kutner，C.J.Nachtsheim和W. Wasserman。应用线性统计模型。Irwin，McGraw-Hill公司，Inc。，1996年。

[2] SEBER，G. A. F.线性回归分析。Wiley系列概率和数学统计。1977年John Wiley和Sons，Inc。。

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Fitlm.|linearmodel.|步骤行程

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