来自系列:微分方程与线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
线性方程包括dy / dt=y, dy / dt= -y, dy / dt=2泰.方程式dy / dt=y*y是非线性的。
好的。第一个视频的目的是告诉你们接下来要讲什么,给你们一个关于如何学习常微分方程的大纲。这个系列的很大一部分将是关于一阶方程和二阶方程的视频。这些是你在应用中看到最多的。如果幸运的话,这些都是你能理解和解决的问题。
一阶方程意味着一阶导数进入方程。这是一个我们要解的很好的方程,我们会花很多时间。它的导数是,y的变化率,未知y的变化率,随着时间的推移部分取决于解本身。这就是微分方程的思想,它把变化量和函数y联系起来。
然后,您有一个名为Q的输入,它产生了自己的变化。他们进入了系统。他们成为y的一部分。而且它们成长,腐烂,振荡,无论T的任何Y。因此,这是一种带有右侧的线性方程,具有输入,强制术语。
这是一个非线性方程。y的导数,斜率取决于y,这是一个微分方程。但是f (y)可以是y²/ y³或者siny或者y的指数,所以它可能不是线性的。线性表示y单独存在。在这里,我们不会。我们很快就能得到解了,因为它是一阶方程。最一般的一阶方程,函数依赖于t和y,输入会随时间变化。这里,输入只取决于y的当前值。
我可以把y看作是银行里的钱,增长,衰减,振荡。或者我可以把y看作弹簧上的距离。很多应用程序即将到来。
好的。所以那些是第一阶方程。和二阶有第二种衍生品。第二衍生物是加速度。它告诉你弯曲的弯曲。
如果我有一个图像,我们知道一阶导数给出了图像的斜率。它上升了吗?它在下降吗?是最大值吗?
二阶导数表示曲线的弯曲程度。它是如何偏离直线的。这就是加速度。根据牛顿定律,我们都知道的物理定律,加速度是一种力。这里有一个力,线性依赖于y,这是关键字,就是y的一次方。
这是一个更一般的方程。根据牛顿定律,加速度乘以质量。这包括一个物理常数,质量。
然后可能有一些阻尼。如果我有动作,可能会有摩擦力放缓。这取决于第一衍生物,速度。
然后可以有同样的强制项它依赖于y本身。可能有某种外力,一些人或机器在创造运动。外力项。
这是一个很大的方程。假设,在这一点上,我们让它是非线性的。我们有很好的机会。如果这些是非线性的,那么二阶的概率就降低了。我们越深入,就越需要线性甚至是常系数。m b k,这是我们能解决的问题,随着我们的熟练程度它是一个线性方程,比如说,二阶,常系数。但这基本上是我们希望明确地做的并且真正理解解,因为它是常系数线性的。再说一遍。这是很好的方程。
我以两种方式想到解决方案。金宝搏官方网站如果我有一个非常好的功能,就像一个指数。指数是微分方程的巨大功能,本系列中的巨大功能。你会一遍又一遍地看到它们。指数。说t的f等于 - e到t。或e to omega t。或者给我omega t。我是减去1的平方根。
在这种情况下,我们会得到一个相似的解的函数。那些是最好的。我们得到一个已知的函数,比如指数函数。我们得到了已知的解。金宝搏官方网站
第二个是我们得到一些功能,我们不太了解。在这种情况下,解决方案可能涉及F的一体,或F的两个积分。我们有一个公式。该公式包括我们必须做的一体化,无论是在数值上都会抬头还是这样做。
然后当我们得到完全非线性的函数时,或者我们有变系数,然后我们要用数值方法。所以,这门课最重要的部分就是数值解。金宝搏官方网站但是你有一大堆的视频有很好的函数和很好的解决方案。金宝搏官方网站
好的。这是第一顺序和二阶。现在还有更多,因为系统通常不包括单个电阻或单个弹簧。实际上,我们有很多方程。我们需要处理这些。
所以y现在是一个向量。Y1 y2到yn。n不同的未知数。n不同的方程。这是n方程。这是一个n × n矩阵。这是一阶反应。常系数。所以我们能得到一些结果。但它是一个n个耦合方程的方程组。
这是第二种衍生品的。解决方案的第二个衍生物。但是,y1到yn。我们有一个矩阵,通常是一个对称矩阵,我们希望,乘以y。
所以,线性的。常系数。但同时有几个方程。这就引入了特征值和特征向量的概念。特征值和特征向量是线性代数的关键使这些问题变得简单,因为它把这个耦合问题变成了n个非耦合问题。我们可以单独解N个一阶方程。或者n个二阶方程我们可以单独解。矩阵的目标就是将它们解耦。
好的。这门课最重要的一点是解决方法是用数值计算的,而且非常有效。金宝搏官方网站还有很多东西要学,很多东西要学。MATLAB是一个一流的软件包,它为你提供了许多选项的数值解。金宝搏官方网站
其中一个选项可能是最受欢迎的。常微分方程的ODE。这是4 5。Cleve Moler,编写了MATLAB软件包,他将创建一系列平行视频来解释数值解的步骤。
这些步骤以非常简单的方法开始。也许我会把创造者的姓名放在下面。欧拉。所以你可以知道,因为欧拉是几个世纪以来,他没有电脑。但他有一种近似的简单方法。所以欧拉人可能是颂歌1.现在我们落后了欧拉。欧拉很好,但没有足够的准确性。
ode 45,4和5表示更高的准确性,在该包装中更具灵活性。因此,从欧拉开始时,Clever Moler将解释几个达到真正的主主页包的步骤。
因此,这是一个并行系列,在那里你会看到代码。这将是一个粉笔和黑板系列,在那里我将以指数形式找到解决方案。金宝搏官方网站如果我可以,我想通过达到部分微分方程来结束序列。
我在这里写一些偏微分方程,这样你们就知道它们的意思了。这是我希望达到的目标。
一个偏微分方程是du / dt,偏导数是二阶导数。现在有两个变量。时间,我一直都有。这是空间方向上的x。这叫做热方程。这是一个非常重要的常系数偏微分方程。
PDE不同于ODE。我再写一个。u的二阶导数与右边x方向上的二阶导数相同。这就叫做波动方程。
这就像是时间的一阶方程。就像一个大系统。事实上,它就像一个无限大小的方程组。时间的一阶。或者说是时间的二阶。热方程。波动方程。
我想也包括拉普拉斯方程。好吧,如果我们到达那里。因此,这些是在杂志中超越一些课程的系列结束的目标。但这里的主要目标是为您提供我们可以解决和理解的基本微分方程的标准清晰图像。
好吧,我希望它顺利。谢谢。
您还可以从以下列表中选择一个网站:
请选择表现最佳的中国网站(中文或英文)。MathWorks的其他国家网站并没有针对您所在位置的访问进行优化。